哲学和数学当中有一个相同的形容词——维度，但是在两个领域的维度所指代的含义完全不同。

维度的抽象概念指的是事物之间有联系的联系数量，也就是由多个有联系的抽象概念组合而成的抽象概念，这一组合而来的抽象概念和每一个它的组成保护分都有联系，而组成它的抽象概念的个数就是这个物质的变化维度。

其实从抽象意义来讲，维度指的是事物之间有联系的概念。

因为从哲学角度来看，人们观察并思考事物的角度都被称之为维度，也就是我们所说的尝试从多个维度看待一件事物。

从哲学角度来说，维度也被叫做思维角度。

比如说形容事物我们通常从内容，时间，空间等三个角度来观察并且描述，这也就是思维角度的不同。

爱因斯坦在相对论中提出：宇宙是有维度的（即时间和空间）。

通常来说我们认为我们所身处于的是三维空间，所谓的三维空间，也就是说我们所处于的这个空间里的每一个点都可以用三个坐标来诠释，就是长度，宽度和高度。

以我们三维世界的生物的思维和从小接受的世界观而言，是很难理解并接受其他维度的事情，在我们三维世界当中，时间只是一个虚拟的概念，但是可能在四维世界当中，时间可能就是一座看得见摸得着的一座大山。

如果四维空间真实存在的话，为什么人们无法进入到四维空间，或是说为什么至今都没有人进入过四维空间呢？科学家对这个问题也分为两个流派，其中的一派认为，之所以我们没有进入到过四维空间是因为人类是三维生物，而三维生物无法经受四维空间对于身体的压力。

所以一旦进入了四维空间，就会导致进入的三维生物身体遭到破坏，继而死亡。

而另一种想法的科学家认为，由于人类是三维生物，极有可能当他进入四维空间的时候以三维生物的大脑无法感知四维世界的信息，也就是身处而不自知的状态。

对于四维空间的猜想，科学家们众说纷纭，但是四维空间并非天方奇谭，早在十九世纪中旬，德国的著名数学家就早已用其积累的丰富的学识知识证明了四维空间的存在。

古希腊的科学家十分热衷于研究几何知识，并通过长久的研究积累了扎实的数学知识。

早在公元前三世纪之时，古希腊数学家欧几里德年少时便热爱思考，并且非常渴望能够进入在当时的古希腊闻名遐迩的柏拉图学院学习数学。

随着岁月的磨练，欧几里德也从稚嫩的少年成长为成就卓越的数学家。

他对于人类古代几何方面的发展可谓是起着非常重要的作用。

因为在当时虽然古希腊的几何文化已经相当的卓越，但是当时的几何数学存在一个相当大的弊端，也就是条理性的缺失，连贯性不够，欧几里德深知现在的几何研究所面临的问题，所以他的毕生几乎都在致力于解决这个问题。

也正是由于天资聪颖在加上后期的勤学善思，欧几里德不仅条理化地整理除了几何数学的整体架构，并且还建造了一个全新的研究领域——欧几里得几何学。

直至今日，世界各国的高等学校都有着这门必修课，也就是我们所简称的欧式几何。

欧几里得所有作品当中最著名的一部《几何原本》甚至被欧洲数学家赞为欧洲数学的基础，里面不仅有对于平面几何的总结，还有关于圆锥曲线以及球面几何学的概念总结以及推论。

欧几里得研究的特殊性在其利用的推论手法，欧几里得使用的是公理化方法。

而公理化也成为了在他之后建立任何的知识体系的典范方法，也被数学家们尊为必须遵守的思维范例。

关于欧几里德还有一个有趣的传闻逸事，在欧几里得的带动下，再加上古希腊本就文化气息浓厚，导致当时下至平民百姓上到帝王都掀起一股对于几何学习的浪潮。

就连当时的国王也想要学习一点几何学，于是国王传唤来了欧几里得，但是由于术业有专攻，所以当时的亚历山大国王托勒密一世在学习的欧式几何的过程当中显得尤为费力，所以他问欧几里得：学习几何有没有什么捷径可走呢？欧几里得笑着说：抱歉国王，学习几何所有人都要从头开始学习并且独立思考。

从此以后，在几何学里,没有专为国王铺设的大道这句话也成为了大家传颂千古的学习箴言。

波恩哈德·黎曼在关于四维空间的研究也离不开欧几里得的欧式几何，数学在学科类理论的研究当中占据着很重要的地位，就连爱因斯坦的相对论的数学基础也是来源于波恩哈德·黎曼所研究的黎曼几何。

广义相对论当中对于空间的定义，实际上就是依据这位著名的德国数学家黎曼所提出的黎曼几何而设定的。

而黎曼几何当中就有涉及到对于四维空间的认知。

早在1854年，伯恩哈德·黎曼为了取得讲师的职位的演讲当中，就使四维世界的认知第一次面向世界，伯恩哈德·黎曼演讲的题目为论作为几何基础的假设。

彼时的伯恩哈德·黎曼获得博士学位才仅仅三年，就已在数学界崭露头角。

黎曼几何当中认为，物理空间应当以四维甚至是更高维度来进行定义，这次演讲正是黎曼几何的雏形。

伯恩哈德·黎曼的演讲来源不仅来自于他对于数学的多年思考与研究，还参照了数学家高斯对于曲面的研究成果以及一部分哲学思想。

伯恩哈德·黎曼依照前人的理论以及学说为基础，总结出了一个全新定义的几何系统。

关于四维，数学界早有了很清晰的定义，通俗一点理解，我们在纸上画的一个图形，也就是我们所说的平面图形，呈现的方式是二维的，但是我们现在所处于的世界当中的每一个点都有着三个坐标可以表示它，也就是长宽高三个方向，所以说三维世界的所有东西都是三维且立体的。

目前人类对于空间的理解只能涉及到三维空间。

四维空间可以表示为在三维立体中间当中的超正方体。

每个超正方体是由八个立方体组成。

如果这八个立方体组成的整体可以在四维空间当中旋转便可以形成超正方体。

如果我们人类进入到空间，不仅瞬移，甚至连时间上的穿越都可以做到。

根据科学家的推论，四维空间的确存在，而且宇宙当中应当是有十一维空间。

但是位于低维度的生物是很难理解高维度世界的运行法则，所以说这也是我们人类可能无法进入四维空间的原因，但是关于四维空间还有一种可能，就是我们人类可能误入过四维空间，只是我们自己并不知道。

并且如果说我们人类当中有幸运儿凑巧冲进了四维空间，可能人类的认知都会在思维空间所颠覆。

因为维度的增加代表着空间的折叠，比如说有一副三维的画以三维的角度绘制而成也以三维的方式所正常地展现出来，可能这副画放到四维世界当中就完全是不同的概念，可能甚至是扭曲得不成形的东西。

并且在三维世界可以作为屏障而阻挡三维生物穿过的东西，也并不能阻挡四维生物的移动，这也是由于空间的折叠。

以及在四维世界的第四条坐标产生的影响，第四条坐标决定了四维生物可以畅通无阻地进入三维生物所不能通过且不能到达的地方。

假如说我们进入了四维空间，时间对于我们来说可能就只会可以看得见摸得到的大山，而只要你翻越这座大山就可以跨越时间，甚至可以随意选择脚步所停止的区域位于哪个时间，也就是说在四维空间当中你可以做到随意的穿越时间，见到上一秒钟的自己以及下一秒钟的自己。

进入四维世界可能会给人们带来难以想象的能力，可能人类就会变成我们神话当中所描述的神。

随着人类对于宇宙的探索从未止步，同样的，宇宙也回馈了人类无数的未解之谜，我们在探索的过程当中寻找着真我，不管是空间的维度还是宇宙的层次，对于现在的我们而言都只是理论的知识，从某种层次来说，对于比我们低维度的生物来说，我们人类——也就是三维生物，也能做到很多原本应该做不到的事情，很有可能人们如果对于维度的考究有了实质上的突破，神话当中那些翻云覆雨的本身都是可以实现的。

正是因为科技的不断发展，科学家们不断地开发与研究，我们的生活才越来越便利。

可能如果真的有一天科学家们突破了三维世界和四维世界的大门，我们的生活也会随之产生翻天覆地的改变。

科学家连四维空间都没搞明白，为何说宇宙是十一维度的？

数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。

能整明白，就可以以此为职业了。

高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。

图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。

直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。

为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？

因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！

物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。

在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。

图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界

至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。

太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。

我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。

图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。

"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间

在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。

但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。

虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。

但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。

首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：

x²+y²=1

上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。

图示：标准单位圆 via wolframalpha

现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：

x²+y²=1

以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。

非常简单！

x²+y²+z²=1

增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。

图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1

现在，让我们继续。

如果我们这样写方程式，

x²+y²+z²+s²=1

增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？

它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。

我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。

当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。

图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体

注意维度是这么增加的。

圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线

圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面

超球体的球体——存在于四维空间中的超球面

我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超

...

超球。

所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。

当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。

但

但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。

我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？

最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。

天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。

自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。

图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。

公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：

距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。

但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？

托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行

如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。

这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。

图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点

如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。

超越三维？

数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。

最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：

超立方体仿佛像有三个以上的维度

但马上他就声明：这是反自然的

而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：

任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。

长宽和高度，已经占据了整个空间。

凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。

但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。

高维合成几何学

从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。

图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。

通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。

想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。

将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。

克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。

与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。

因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！

换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。

就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。

高维分析几何学

虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。

但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。

1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。

1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法

1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。

而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。

到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。

到1911年，Sommerville列出了1832篇研究高维空间的重要参考文献，它们用意大利语，德语，法语，英语和荷兰语写成。

高维空间研究在数学界已经是一个重要研究分支。