一行简短数学公式，何以横扫科学？
“冯翼惟象，何以识之？”对此的思考甚至发展成了哲学的认识论这一分支。
但真正跳脱玄谈，实际着手定量研究知识来源的，还要等到18世纪概率论的出现。
【千问解读】
自古以来，人们就在思考知识来自何处。
“冯翼惟象，何以识之？”对此的思考甚至发展成了哲学的认识论这一分支。
但真正跳脱玄谈，实际着手定量研究知识来源的，还要等到18世纪概率论的出现。
谁又会想到，一条证明并不复杂的简短公式，经过两个世纪跌宕和无数研究之后，人们才明白它就是获取可靠知识的钥匙。
英国靠它破译了二战德军的密码，保险业靠它完成精算，而人工智能更是靠它得到了一次飞跃。
更出人意料的是，人工智能启发了科学家对人类心智的研究，他们发现，同一条公式同样掌管着人类的基本感知和高级认知。
这就是贝叶斯公式。
黄黎原的这本《贝叶斯的博弈》为我们揭开的，正是这一公式的神秘面纱。
本文节选自“达尔文遇上贝叶斯”章节。
《贝叶斯的博弈》
作者：黄黎原（Lê Nguyên Hoang）
译者：方弦
01
幸存者偏差
在第二次世界大战中，英国空军雇用了统计学家亚伯拉罕·瓦尔德研究战机装甲的最优化。
英国空军注意到，除了前部发动机所在之处以外，从战斗中返回的战机被打得遍体鳞伤。
于是空军得出结论，应该减轻前部装甲来强化后部装甲。
瓦尔德惊呼：这不对！他的看法是，事情正好相反，飞机只有后部中弹证明了应该加强飞机的前部装甲。
瓦尔德的这个说法相当惊人。
但这其实本质上类似于查尔斯·达尔文对生物中复杂结构的出现做出的解释。
在这两种情况下，我们当中大部分人所忽略的微妙之处正是淘汰的过程，或者说，我们注意的只是选择中的幸存者。
在瓦尔德的情况中，被淘汰的就是那些前部中弹的飞机，这些飞机的发动机被摧毁甚至爆炸，因此无法返航。
与之相似的是，达尔文断言那些因缺陷而无法繁衍的动物物种不可避免走向灭亡，因此，在至今仍然存活的物种中，重大缺陷极少。
达尔文的演化理论受到了科学界的一致赞赏，但时至今日，它仍有许多伪科学的批评者。
智能设计论证正是这些人用以反驳的工具，这项论证如下。
想象一下你在沙漠的正中，如果你偶然发现一块奇形怪状的石头，那么你不会惊奇于它是自然过程的产物。
然而，如果你发现了一块结构精巧的钟表，那么认为它可以通过完全自然的过程产生，似乎太愚蠢了。
钟表的精巧结构似乎只能用有一位拥有智慧的设计师精心制作来解释。
同样，人体那令人惊叹的精巧结构，从骨骼与肌肉的生物力学，到免疫系统的组织，再到灵巧的眼睛以及复杂得难以理解的大脑，都只能是智能设计的结果，而这位拥有智慧的设计者只能是上帝。
这个论证可能看上去很有说服力。
然而，除了其中将“拥有智慧的设计者”与上帝混为一谈这一点值得商榷以外，它也低估了我们上文所说的淘汰过程——达尔文将其称为自然选择。
02
遗传算法
达尔文式演化远远不止是人类智慧苍白的复制品，实际上它能轻易创造出人类智慧也难以想象的结构——常被引用的经典例子就是人类大脑。
虽然演化知道怎么将它设计出来，但即使有了超级计算机，神经科学到现在还无法完全理解人类大脑。
来自达尔文式演化的这种精巧复杂如此摄人心魄，令计算机科学家与应用数学家转向了所谓的遗传算法，用以找出某些问题的答案，而除此以外的解法无人知晓。
这些遗传算法除了模仿自然选择，还模仿了杂交与变异。
比如说，假设我们希望确定一个访问法国最大的 100 个城市的方法，使得路程费时最少。
这个问题又叫作旅行推销员问题。
每个访问城市的顺序都是问题的可能解答，而我们的目标是找出最优的解答。
这个问题的难点在于可能的解答有如恒河沙数，一共有 100! ≈ 10^157 个可能的路线。
即使我们将地球上所有超级计算机组合起来，列出所有排列，完成这一任务所需的时间也远远超过了宇宙的年龄。
遗传算法对于这类问题的处理无比高效。
这种算法的原则就是维持一个多样化的种群，其中包含有前途但并非最优的解答。
在每一步迭代时，算法会选择群中的两个解答，对其进行杂交操作，在其中添加（有益的）变异，然后进行择，其中最差的解答会被淘汰。
奇怪的是，这种达尔文式的优化方法好得惊人，甚至是许多情况下最优秀的解法！
达尔文式演化在这种情境下比人类的智慧要做得更好。
所以，自然的精巧作为反驳演化理论的论点并不令人信服。
但我们在第 11 章仍然会谈到这个问题。
03
构筑自己的意见？
科学与伪科学之间的区别，是被称为“怀疑主义”“批判性思考”或者“探索派”的思想运动偏好的话题。
这一思想运动主要讨论伪科学支持者的常见诡辩与认知偏差。
这些论证中的错误的确相当糟糕，是大量阴谋论、替代医学和超常现象的基础。
对于某些人来说，对这些问题的正确反应是构筑自己的意见。
然而，这种反应的危险在于，有些事情必须具有大量知识或者经验储备才能得出足够切中要害的意见，但这种反应难免导致对这些事情的怀疑，甚至是无法避免的偏见、误解和错误。
例如琳达问题、p 值争议或者差分隐私的概念就属于这一类情况。
某些更重要的问题，比如疫苗的有效性、谷歌和Facebook的算法，以及气候变化的人为因素，也都属于这类情况。
除非你花上好几年细细研究这些问题，否则你自己形成的意见必定缺乏足够的信息，也因此无足轻重。
我们十分希望即使只花上几个小时，最终也能在这些问题上得出正确的答案，但事实远非如此。
比如说在琳达问题中，直觉会使我们的错误率比一只随机选择答案的黑猩猩的错误率还要高。
统计学家汉斯·罗斯林就证明了这一点。
对于许多问题，比如女性平均受教育时间、自然灾害造成的死亡人数、世界贫困人口等，我们的表现比无知还要糟糕，我们一贯选择的都是错误答案！
更糟糕的是，要估计应该对自己的直觉有多少信心，对我们来说难上加难。
因此，即使花上相当长的时间思考并汲取有关某个问题的信息，我们对于自己理解了多少，以及自己的意见是否考虑了足够多的信息，了解起来可能还是相当困难的。
雪上加霜的是，德里克·穆勒的博士论文证明，哪怕是对物理现象完全正确的视频解释，也可能会提高学生对自身直觉的信赖，即使学生刚才观看的视频解释完全否定了这些直觉！我们每个人都经历过太多次这种反复出现的自信过度了。
你可能也明白，这就是我在本书中尝试克服的主要认知偏差。
这也是贝叶斯公式、埃尔德什在蒙蒂·霍尔问题中遇到的困难，以及所罗门诺夫不完备性迫使我们承认的东西：我们总是过分自信。
正如伟大的逻辑学家伯特兰·罗素所言：“世界上所有问题的根源在于，笨蛋和盲信者总是无比自信，而更有智慧的人却一直在怀疑。
”艾蒂安·克莱因补充道：“要尽量避免得出结论。
”
实际上，“只靠自己”去相信任何事物是个难于登天的任务，其中布满无法逾越的障碍。
我很不建议你这样做。
如果构筑正确的意见那么容易的话，那高等研究就不需要花那么长的时间了，而且知识也不会被如此切分为相互隔绝的学科了。
如果没有足够的财力、时间和认知能力去沉浸在特定问题的详细研究之中的话，那么我们就难免需要依靠他人的意见。
这并不是个坏习惯。
实用贝叶斯主义者也更倾向于利用其他人在数十年甚至数百年中做出的工作来细化自身对世界的理解。
即使是纯粹贝叶斯主义者也知道，其他个体能访问众多她无法访问的数据，所以她有不少东西可以向这些人学习。
上文转自图灵新知，节选自《贝叶斯的博弈》，【遇见数学】已获转发许可。
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《贝叶斯的博弈：数学、思维与人工智能》
作者：黄黎原（Lê Nguyên Hoang）
译者：方弦
法国数学类科普书、大学数学参考及教材类图书畅销书目，深受读者好评。
有人生前波澜不惊，死后却名声大振，贝叶斯就是其中之一。
以他命名的“贝叶斯定理”堪称一座知识宝库，从神经科学到人工智能，无所不及。
一个充满启示，实现革新，改变人类认知和预测方式，颠覆固有思维的奇妙定理。
入门级读物，谈论科学的新方式，严谨而全面，无须过多数学专业知识也可畅读。
数学真理的极限在哪里？希尔伯特第十问题扩展版得到证明
现在，又一个角落被照亮了。
1900 年，著名数学家大卫・希尔伯特（David Hilbert）公布了一份清单，其中包含 23 个关键问题，并希望以此指导下个世纪的数学研究。
他的问题不仅为数学领域提供了路线图，还反映了一个更雄心勃勃的愿景 —— 建立一个坚实的基础，使得所有数学真理都可以基于此推理出来。
这个愿景很宏大，而其中的一大关键是假定数学是「完备的（complete）」。
也就是说，所有数学陈述都应该可以被证明为真或假。
1930 年代，库尔特・哥德尔（Kurt Gödel）证明这是不可能的：在任何数学系统中，都有既不能证明也不能证伪的陈述。
几年后，艾伦・图灵（Alan Turing）等人基于他的工作，表明数学充斥着「不可判定（undecidable）」的陈述 —— 即任何计算机算法都无法解决的问题。
这些结果表明，证明和计算的能力存在一些根本性限制。
有些数学根本无法被人知晓。
希尔伯特的梦想破灭了。
但它的碎片依旧继续存在着。
他曾提出的那些问题仍会让人想起他的愿景，使「完备数学」的理念可在更狭窄的语境下生存。
在这些问题中，第十问题是最主要的一个，其与丢番图方程（又称不定方程）有关。
丢番图方程是指有整数系数的多项式，例如 x² + y² = 5。
我们很熟悉这些方程，而它们也是数学领域最核心的研究对象之一。
几千年来，数学家一直在寻找它们的整数解。
例如，在这个例子中，一个解是 x = 1，y = 2（因为 1² + 2² = 5）。
另一个是 x = 2，y = −1。
大卫・希尔伯特x² + y² = 3 等许多丢番图方程却可能没有任何整数解。
希尔伯特的第十问题是：是否总是可以判断给定的丢番图方程是否有整数解。
是否存在一种算法可以确定每个方程的解，还是说这个问题是不可判定的？也许不可能为所有数学问题找到一种完备而系统的求解方法 —— 甚至不可能解决希尔伯特的所有 23 个问题 —— 但对于丢番图方程，可能仍然存在一种求解方法，作为希尔伯特理想的一个微缩版本。
乌得勒支大学的 Peter Koymans 说：「这个问题是那个梦想的一个非常自然的版本。
」1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄罗斯数学家打破了这个梦想。
他的研究表明，并不存在一种可以确定任何给定的丢番图方程是否有整数解的通用算法 —— 希尔伯特第十问题是一个不可判定的问题。
你也许能够构想出一种可以评估大多数方程的算法，但它无法适用于每一个方程。
即使在这种最简单的数学中，也隐藏着不可知性。
Yuri Matiyasevich，摄于 1969 年数学家们想检验 Matiyasevich 的结论的适用范围。
比如如果允许丢番图方程有复数解（可以用实部和虚部写出的数字，并且不限于整数）呢？在这种情况下，每个丢番图方程都有一个解，而希尔伯特第十问题的答案是肯定的。
但是，在解必须是整数的方程和解可以是复数的方程之间，丢番图方程还存在很广的范围。
「对于整数，它是不可求解的，然后当传递给更大的数字系统时，可能会突然获得可解性。
」哈佛大学的 Barry Mazur 说。
「但这个转折点在哪里？」自希尔伯特第十问题被解决以来的 50 年里，数学家们一直在寻找这个转折点。
现在，Koymans 和他的长期合作伙伴、蒙特利尔康考迪亚大学的 Carlo Pagano 以及另一组独立研究的团队朝着这一目标迈出了重要一步。
这两个小组都证明，对于整数之外的大量重要数集，同样不存在可确定任意给定的丢番图方程是否有解的通用算法。
这两项工作不仅让数学家能够更精确地了解他们能知道什么和不能知道什么，还让他们对数学中最核心的对象之一有了全新的控制水平。
论文标题：Hilberts tenth problem via additive combinatorics论文地址：https://arxiv.org/abs/2412.01768论文标题：Rank stability in quadratic extensions and Hilberts tenth problem for the ring of integers of a number field论文地址：https://arxiv.org/abs/2501.18774从整数开始扩展这些新证明的核心是希尔伯特第十问题的一种自然扩展。
该扩展涉及的丢番图方程的解属于一个与整数密切相关的数字系统。
从 1 和 -1 开始，可以通过不同的组合方式得到所有其它整数。
但如果是从 1、-1、和 开始呢？通过不同组合方式，也能得到一个数字系统，这被称为整数环（ring of integers）。
很显然，名字虽然是整数环，但这个数字系统中并不只有整数。
使用其它的数字集合也能构建其它的整数环，比如可包括 （也就是虚数 i）或 。
那么，问题来了：是否存在一种算法，可以总是确定给定丢番图方程的解是否属于某个整数环？Carlo Pagano数学家猜想，对于每一个整数环（即无限多个数字系统），这个问题仍然是不可判定的。
这将使该结论远远超出希尔伯特第十问题初始的整数范围。
为了证明这一点，他们希望追随原始问题的证明脚步 —— 仅涉及整数解的问题。
一般来说，不可判定性证明（确定是否存在可以回答给定问题的通用算法的证明）遵循相同的方法：证明相关问题等价于计算机科学中一个著名的不可判定问题，即停机问题（halting problem）。
停机问题问的是：对于一个理想的计算设备（称为图灵机），当给定某个输入时，该设备将永远运行还是最终会停止？现在人们已经知道，并不存在一个可为每台图灵机解答这个问题的算法。
也可以将丢番图方程视为计算设备。
以方程 y = x² 为例。
它有无穷多个整数解。
只需为 x 代入不同的整数并求解 y，得到的值都属于一个著名的整数集：完全平方数（the perfect squares）。
我们很容易就能想象出一个能执行其等价任务的计算机程序（即图灵机）：「计算完全平方数的序列」。
其它丢番图方程也可以编码成其它类型的计算。
Julia Robinson为了解决希尔伯特最初的第十问题，数学家们以这个想法为基础开始了研究。
Julia Robinson 等人于 1950 年左右开始研究，最终汇集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果。
研究结果表明，对于每个图灵机，都有一个对应的丢番图方程。
「这完全出乎意料，」智利天主教大学的 Hector Pasten 说。
「基于整数的丢番图方程足以定义你能想象到的任何东西。
」此外，数学家们还建立了一种优雅的对应关系：如果图灵机因给定输入而停止，其对应的丢番图方程将有一个整数解。
如果图灵机永远运行，其对应的丢番图方程将没有解。
但这意味着希尔伯特第十问题编码了停机问题：如果一种算法可以根据是否有整数解对丢番图方程进行分类，那么该算法也可用于根据是否会停机对图灵机进行分类。
换句话说，希尔伯特第十问题是不可判定的。
数学家们希望采用同样的方法来证明该问题扩展的整数环版本 —— 但他们遇到了一个障碍。
将研究成果黏合起来当允许方程有非整数解时，图灵机和丢番图方程之间的有用对应关系就会瓦解。
再次以方程 y = x² 为例。
如果你研究的是包含 的整数环，那么你最终会得到一些新的解，例如 x = , y = 2。
该方程不再对应于计算完全平方数的图灵机 —— 更广义地说，丢番图方程不再能编码停机问题。
但在 1988 年，纽约大学的一名研究生 Sasha Shlapentokh 开始想办法解决这个问题。
到 2000 年，她和其他一些研究者制定了一个计划。
假设你要为 y = x² 添加一些其它项，从而可迫使 x 再次为整数，即便要使用不同的数字系统。
然后，你可以挽救与图灵机的对应关系了。
那所有丢番图方程都可以这样做吗？如果可以，那就意味着希尔伯特问题可以在新的数字系统中编码停机问题。
多年来，Shlapentokh 等数学家弄清楚了他们必须在各种环的丢番图方程中添加哪些项，这使他们能够证明希尔伯特问题在这些设置下仍然无法判定。
然后，他们将所有剩余的整数环归结为一种情况：涉及虚数 i 的环。
数学家们意识到，在这种情况下，必须添加的项可以使用一类名为椭圆曲线（elliptic curve）的特殊方程来确定。
但椭圆曲线必须满足两个属性。
首先，它需要有无限多个解。
其次，如果切换到不同的整数环 —— 如果从数字系统中移除虚数 —— 那么该椭圆曲线的所有解都必须保持相同的底层结构。
事实证明，构建这样一条适用于所有剩余环的椭圆曲线是一项极其微妙和困难的任务。
但 Koymans 和 Pagano—— 从研究生阶段就开始就密切合作的椭圆曲线专家 —— 拥有合适的工具集来进行尝试。
许多个不眠之夜从本科开始，Koymans 就一直在思考希尔伯特第十问题。
在就读研究生以及在与 Pagano 合作期间，这个问题一直在召唤他。
「我每年都会花几天时间思考这个问题，但总是陷入困境，」Koymans 说。
「我尝试了三种方法，但它们都失败了。
」2022 年，在加拿大班夫举行的一次会议上，他和 Pagano 最终聊到了这个问题。
他们希望能够一起构建出解决这个问题所需的特殊椭圆曲线。
在完成了其它一些项目后，他们开始了研究。
Peter Koymans他们从一个简单的椭圆曲线方程开始，这个方程不满足任何所需的属性。
他们知道他们可以使用一种名为二次扭曲（quadratic twist，这是他们已经研究了近十年的东西）的成熟技术来调整方程，使其满足第一个条件。
他们只需将方程的一个变量乘以一个特定的数字，他们就会得到一条有无限多个解的新椭圆曲线。
但这给他们留下了一个问题。
他们无法保证这条新曲线满足第二个性质 —— 对于相差一个虚数的环，其解看起来会很相似。
数学家们需要更好地控制二次扭曲。
他们陷入困境。
「我有一种不好的感觉，」Koymans 说。
「我开始怀疑我们遗漏了什么东西。
」然后，在 2024 年夏天，在研究另一个问题时，两人不得不再次使用二次扭曲。
一天晚上，在这项研究过程中，科伊曼斯发现自己躺在床上睡不着，无法停止思考希尔伯特第十问题。
Koymans 意识到，另一项工作给了他们一个重要的提示，即那些有时会出现的奇怪且惊人的数学一致性（mathematical concordance）：如果他们在二次扭曲中使用的数字恰好是三个素数的乘积，则他们就会获得保证第二个性质所需的控制权。
但是，由于他们的椭圆曲线必须精心构建并满足许多规范，因此对这三个素数的取值有很多额外的限制。
Koymans 和 Pagano 能找到可行的素数吗 —— 不管对于哪个整数环？几天后，Pagano 碰巧计划访问当时 Koymans 工作的瑞士苏黎世联邦理工学院。
接下来的一周，他们一起在黑板上努力寻找满足所有限制的素数。
最后，他们发现必须使用四个素数而不是三个素数来构建所需的二次扭曲。
这使得他们能够应用一种来自完全不同的数学领域的方法，即加性组合学（additive combinatorics），以确保每个环都存在正确的素数组合。
这就是最后一部分：他们构建了所需的椭圆曲线。
它为他们提供了向丢番图方程添加项所需的方法，这使他们能够将图灵机（以及停机问题）编码到这些方程中，而不管他们使用什么数字系统。
一切都解决了。
希尔伯特第十问题对于每个整数环都是不可判定的。
上周四，在 Koymans 和 Pagano 在线发布他们的论文不到两个月后，结果得到了进一步巩固。
一个由四名数学家组成的独立团队宣布了对同一结果的新证明。
他们没有寻找特殊的椭圆曲线，而是依靠一种不同类型的方程来完成同样的工作。
这两个团队都希望利用他们的技术（这些技术使他们对椭圆曲线和相关方程有了前所未有的控制）在其他问题上取得进展。
普林斯顿大学数学家、第二个证明的作者之一 Manjul Bhargava 说：「这两种方法有可能结合起来做更多的事情。
」与此同时，对不可判定性终结以及可判定性开始的位置的探索尚未结束：数学家们正在新的环境中继续探索希尔伯特第十问题。
蒙特利尔大学的 Andrew Granville 认为，这只是众多问题中的一个，这些问题「反映了世界哪些部分为真的哲学方面」。
所有知识都有极限。
Granville 说：「它提醒我们，有些事情是无法做到的 —— 无论你是谁，无论你有怎样的身份或才智。
」原文链接https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/ 阅读最新前沿科技趋势报告，请访问欧米伽研究所的“未来知识库” https://wx.zsxq.com/group/454854145828未来知识库是“欧米伽未来研究所”建立的在线知识库平台，收藏的资料范围包括人工智能、脑科学、互联网、超级智能，数智大脑、能源、军事、经济、人类风险等等领域的前沿进展与未来趋势。
目前拥有超过8000篇重要资料。
每周更新不少于100篇世界范围最新研究资料。
欢迎扫描二维码或访问https://wx.zsxq.com/group/454854145828 进入。
截止到12月25日 ”未来知识库”精选的100部前沿科技趋势报告 2024 美国众议院人工智能报告：指导原则、前瞻性建议和政策提案 未来今日研究所：2024 技术趋势报告 - 移动性，机器人与无人机篇 Deepmind：AI 加速科学创新发现的黄金时代报告 Continental 大陆集团：2024 未来出行趋势调研报告 埃森哲：未来生活趋势 2025 国际原子能机构 2024 聚变关键要素报告 - 聚变能发展的共同愿景 哈尔滨工业大学：2024 具身大模型关键技术与应用报告 爱思唯尔（Elsevier）：洞察 2024：科研人员对人工智能的态度报告 李飞飞、谢赛宁新作「空间智能」 等探索多模态大模型性能 欧洲议会：2024 欧盟人工智能伦理指南：背景和实施 通往人工超智能的道路：超级对齐的全面综述 清华大学：理解世界还是预测未来？世界模型综合综述 Transformer 发明人最新论文：利用基础模型自动搜索人工生命 兰德公司：新兴技术监督框架发展的现状和未来趋势的技术监督报告 麦肯锡全球研究院：2024 年全球前沿动态（数据）图表呈现 兰德公司：新兴技术领域的全球态势综述 前瞻：2025 年人形机器人产业发展蓝皮书 - 人形机器人量产及商业化关键挑战 美国国家标准技术研究院（NIST）：2024 年度美国制造业统计数据报告（英文版） 罗戈研究：2024 决策智能：值得关注的决策革命研究报告 美国航空航天专家委员会：2024 十字路口的 NASA 研究报告 中国电子技术标准化研究院 2024 扩展现实 XR 产业和标准化研究报告 GenAI 引领全球科技变革关注 AI 应用的持续探索 国家低空经济融创中心中国上市及新三板挂牌公司低空经济发展报告 2025 年计算机行业年度策略从 Infra 到 AgentAI 创新的无尽前沿 多模态可解释人工智能综述：过去、现在与未来 【斯坦福博士论文】探索自监督学习中对比学习的理论基础 《机器智能体的混合认知模型》最新 128 页 Open AI 管理 AI 智能体的实践 未来生命研究院 FLI2024 年 AI 安全指数报告 英文版 兰德公司 2024 人工智能项目失败的五大根本原因及其成功之道 - 避免 AI 的反模式 英文版 Linux 基金会 2024 去中心化与人工智能报告 英文版 脑机接口报告脑机接口机器人中的人机交换 联合国贸发会议 2024 年全球科技创新合作促发展研究报告 英文版 Linux 基金会 2024 年世界开源大会报告塑造人工智能安全和数字公共产品合作的未来 英文版 Gartner2025 年重要战略技术趋势报告 英文版 Fastdata 极数 2024 全球人工智能简史 中电科：低空航行系统白皮书，拥抱低空经济 迈向科学发现的生成式人工智能研究报告：进展、机遇与挑战 哈佛博士论文：构建深度学习的理论基础：实证研究方法 Science 论文：面对 “镜像生物” 的风险 镜面细菌技术报告：可行性和风险 Neurocomputing 不受限制地超越人类智能的人工智能可能性 166 页 - 麦肯锡：中国与世界 - 理解变化中的经济联系（完整版） 未来生命研究所：《2024 人工智能安全指数报告》 德勤：2025 技术趋势报告 空间计算、人工智能、IT 升级。
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建议收藏！一年级数学20以内退位减法超强攻略和练习题
今天就给各位家长带来一年级数学下册第二单元“20以内的退位减法”的超实用学习辅导资料，建议直接保存！ 20以内的退位减法是一年级数学的重难点，对孩子数感培养和运算能力提升至关重要。
很多孩子在这一单元容易卡壳，别着急，这份资料帮你解决。
先看看精心绘制的思维导图（强烈建议保存图片），以“20以内退位减法”为中心，清晰展开破十法、平十法、想加算减法等计算方法分支。
比如破十法，把被减数拆分成10和几，先算10减减数，再加上拆分出的数 ，步骤清晰，孩子一看就懂，能快速搭建知识框架，理解不同算法的逻辑。
再搭配上针对性练习题，如“13 - 5 = ？”“小明有17颗糖，吃了8颗，还剩几颗？”这些题目，从基础运算到生活应用，逐步提升孩子计算能力和解决问题的能力。
家长们快打印出来，让孩子在练习中巩固，轻松吃透这一单元知识，数学学习更上一层楼！
