一个数学家能有多“抽象”？他研究如何区分高维空间的“足球”和“甜甜圈”

有人打趣拓扑学家分不清咖啡杯和甜甜圈，因为咖啡杯的把手是一个洞，甜甜圈也有一个洞。

在拓扑学家眼中，这两样东西本质一样，咖啡杯可以慢慢捏成甜甜圈，而没有洞的足球怎么捏都捏不成甜甜圈。

复旦大学上海数学中心教授王国祯研究的，正是如何区分几十维甚至上百维空间里的“足球”和“甜甜圈”。

“我们可以想象一下”，这是王国祯的口头禅。

三维球面就超出了很多人的想象，更不要说高维空间了。

“球面稳定同伦群”问题被称为代数拓扑的“圣杯”之一，一个世纪以来，学界将计算艰难地推进到了59维。

王国祯与合作者不仅迈过了61维这个“坎”，解决了广义庞加莱猜想在奇数维情形的最后一个问题，还将计算推进到了90余维。

今天（7月8日），王国祯以第一完成人获颁国家自然科学奖二等奖。

【跻身全球第一梯队】

“假设有一天汽车的轮胎破了，但我手头只有一个足球，我永远也无法把足球塞进轮胎里当内胎。

”王国祯用这个比喻进一步解释他的研究——如何区分不同的拓扑空间。

而稳定同伦群是研究这一问题的主要工具之一。

球面稳定同伦群之所以被称为“圣杯”，是因为同伦群是不变量，而球面是最基础的空间，对球面同伦群的研究是验证同伦群研究方法的试金石，其方法可推广至其他空间。

“同伦群”到底是什么？“你可以想象一根橡皮筋绕在手腕上，研究‘本质上有多少种不同的绕法’，就是同伦群在做的事。

”王国祯说。

由于高维空间无法依赖几何直觉，数学家往往通过将对象转化为抽象的数学语言或代码，再提取本质特征进行代数研究。

王国祯与合作者最重要的突破，是证明了61维球面微分结构的唯一性。

目前研究已覆盖至约120维，其中90维以内的结果较为完整。

对于这一前沿研究，美国科学院院士霍普金斯教授等人评价是“非凡的努力”，德国科学院院士莱文教授称之为“美妙的推论”。

2022年，王国祯与合作者徐宙利应邀在国际数学家大会作45分钟报告，标志着我国青年学者跻身全球代数拓扑研究第一梯队。

【灵感不会凭空降临】

当初为何选择这道难题？

“数学里所有未解问题都很难，有些问题我完全没有思路，选择它是因为大概知道从哪下手。

”王国祯坦言。

即便如此，这一突破也历时4年之久。

王国祯与合作者们有时候每天打一个电话，“我们一直在很辛苦地算，不断地尝试各种不同的想法，有时甚至用穷举法一个个试，但不断地失败。

我躺在床上都在想，究竟是哪里出了问题？”

灵感不会凭空降临。

“数学是很基础的学科，需要学习很多知识，才可能出现一瞬间的灵感。

当然，也会有长时间没有灵感的时候，也是很郁闷的。

这时候就需要扩展自己的知识面，才可能产生新的灵感。

”王国祯说。

如今，王国祯又把目光同时投向了看似没有规律、难度更大的“不稳定同伦群”。

【数学像是生活的背景】

41岁的王国祯，从小就沉迷于计算，至今对于庞杂的计算仍乐在其中。

在他看来，数学的优美就在于从杂乱无章中找到秩序。

有不少学生说，只要和王国祯聊到数学，就会感觉到他发自内心的快乐。

对于他而言，数学就像是生活的背景，已成为生活中不可或缺的一部分，无法截然分开，只要一有空他可以随时随地思考数学。

王国祯多年来保持着一个习惯——带着问题去散步，尤其喜欢在空旷环境中整理思路，他笑言：“我在夏天的研究效率通常比冬天高，因为冬天太冷散步时间更短。

”

不研究数学的时候，王国祯总是喜欢陪伴着两个年幼的孩子。

尽管他期待孩子们长大后也成为数学家，但他表示不会去“鸡娃”，因为数学研究需要强烈的兴趣，“鸡娃”容易破坏兴趣。

数学家是否会被AI取代？王国祯对此表示并不担心，“数学家反而变得更多了。

”他正在尝试用AI辅助数学研究。

最初证明61维球面微分结构的唯一性时，他与合作者写了一个4页纸的逻辑框架，然后花了一年多时间把所有细节补全，扩容到了40多页。

“如果当初AI能把繁琐的逻辑证明补全，就能快速推进我们的研究。

”

英国数学物理学家罗杰·彭罗斯在《通向实在之路》中画过一张图：数学世界无比浩瀚，只有其中一小部分能投射到现实物理世界；物理世界中，又只有一小部分能产生人类思维；而人类思维中，能反向捕捉、还原出数学结构的，更是微乎其微。

王国祯做的，正是那“微乎其微”的事。

而他此刻大概在某个空旷之地，一边散步，一边想着高维空间里的“足球”和“甜甜圈”。

今日足球：伊普斯维奇VS诺丁汉森林 阿拉维斯VS马拉加

伊普斯维奇VS诺丁汉森林 伊普斯维奇近况：伊普斯维奇近10场正赛多达8场比赛半场有得失球。

球队本赛季联赛7场比赛，在落后的情况下最终获胜的场次占总胜场的66%。

在本赛季英超主场3战取得2胜0平1负，进4球失4球，胜率66.7%。

两个主场胜利分别是2比1击败桑德兰和2比1逆转富勒姆，上个主场2-1富勒姆结束此前正赛主场2连败，失利则是0-2不敌利物浦，实属正常，球队主场实际有一定取分能力。

不过需要注意的是球队在近5场正赛连续失球，且场均丢球达2.2球。

球队近5年面对诺丁汉森林主场丢分的概率达到100%。

球队上轮英超客场2比3负于曼城，球队一度将比分追至2比3。

前7轮战罢，伊普斯维奇取得3胜0平4负，积9分排名第10位。

诺丁汉森林近况：诺丁汉森林近5年面对伊普斯维奇客场胜率达到100%。

球队本赛季联赛7场，战绩为1胜2平4负，目前排名联赛第18，有保级压力，本场比赛得分意向充足。

球队在本赛季联赛7场比赛，在领先的情况下最终获胜的场次占总胜场的100%。

诺丁汉森林在与伊普斯维奇的交锋中保持绝对优势。

不过需要注意的是球队在近3场比赛连败，状态持续低迷。

在本赛季联赛6场进5球，是联赛进球数第2少的球队。

而且球队球员尼科洛·萨沃纳、伊戈尔·热苏斯都无法出场。

本场：双方的实力还是有一定的差距，诺丁汉森林的整体实力要强于伊普斯维奇，此次给予诺丁汉森林一定的支持，个人认为诺丁汉森林至少不败。

阿拉维斯VS马拉加 阿拉维斯近况：阿拉维斯近5年面对马拉加主场胜率达到100%。

球队主力马里亚诺本赛季联赛9场比赛，送出4次助攻，目前排名联赛助攻榜第2位。

在本赛季联赛9场比赛，在领先的情况下最终获胜的场次占总胜场的100%。

阿拉维斯与马拉加在西甲历史上共交手16次，阿拉维斯取得8胜3平5负，整体战绩占据优势。

不过需要注意的是球队在近一场西甲客场1比2负于塞尔塔，诺沃亚在比赛末段打入一记精彩进球缩小差距，但未能扳平。

球队前9轮取得3胜2平4负，积11分排名第7，其中前4轮拿到10分，但自9月初主场击败奥萨苏纳之后，连续5轮联赛不胜，战绩为1平4负，15个积分中只拿到1分。

在这5场不胜中，阿拉维斯进4球失9球。

而且球队球员法昆多·加尔塞斯、米克尔·罗德里格斯都无法出场。

马拉加近况：马拉加本赛季联赛9场，战绩为0胜4平5负，目前排名联赛第20，有保级压力，本场比赛战意十足。

不过需要注意的是球队在近6场比赛3平3负，难求一胜。

在本赛季联赛8场进4球，是联赛进球数第1少的球队。

在近一场西甲主场2比5败给了皇家社会。

前9轮战罢，马拉加0胜4平5负，积4分排名西甲第20位，是联赛唯一一支尚未取胜的球队。

球队本场客场作战，本赛季西甲客场4战1平3负一胜难求，进1球失8球，且连续4个客场均有失球。

客场环境中马拉加的控球率和射门数均低于对手，防线在持续压力下容易出现连续失球，而进攻端在客场仅打入1球，几乎无法形成有效的客场得分发挥。

马拉加客场拿分的难度进一步加大。

本场：双方在交手中阿拉维斯取得了不错的成绩，占据一定的优势，此次给予阿拉维斯不错的支持，个人认为阿拉维斯拿下的机会更大。

克勒舍与米兰达成协议：足球总监的重任能否助力红黑军团重返巅峰？

在足球市场的动态中，克勒舍与AC米兰的协议无疑是近期转会新闻中的一大亮点。

根据意大利媒体的报道，这位前法兰克福体育主管与米兰在财务框架条件上达成了一致，签订了一份为期三年的合同，距离正式转会只差最后的解约金谈判。

战术背景分析：克勒舍的角色定位 克勒舍的加盟对于AC米兰来说，意味着一个新的开始。

米兰在经历了数年的低谷后，急需一位能够带领球队重回巅峰的领军人物。

克勒舍在法兰克福的成功经验，使他成为了米兰重建计划中的关键人物。

根据数据显示，他在法兰克福期间，球队的战术组织和球员引进均表现出色，帮助球队实现了多项成就。

数据支撑：克勒舍的成功轨迹 在克勒舍的管理下，法兰克福的转会成功率高达75%，其中不乏一些明星球员的引进。

这样的成功率对于正处于重建期的米兰来说，无疑是一个强有力的保障。

同时，克勒舍在球员的选拔和战术调整方面也展现出了极高的专业性。

根据跑动热区图显示，他所选的球员在场上的移动和配合都极具效率，能够有效提升球队的整体战斗力。

人物故事：克勒舍的职业生涯 克勒舍的职业生涯可谓是一部传奇。

从法兰克福的体育主管到即将成为AC米兰的足球总监，他的每一步都充满了挑战与机遇。

早在今年夏天，米兰就曾向他发出邀请，但当时由于对法兰克福的忠诚，他选择了拒绝。

然而，如今事情的发展似乎已将他推向了米兰的怀抱。

克勒舍曾表示，米兰是他心目中的理想俱乐部，他希望能在这里实现自己的足球梦想。

这样的情感投入，必然会激励他在未来的工作中全力以赴。

事件追踪：解约金谈判的关键 目前，克勒舍与法兰克福之间的解约金条款是转会的关键所在。

根据《图片报》的报道，双方已就350万至500万欧元的解约金达成了初步协议。

米兰现在面临两个选择：直接激活这一条款，或者与法兰克福展开谈判，力争降低转会费用。

这个选择不仅关乎金钱，也关乎米兰未来的战略布局。

直接激活条款意味着米兰对克勒舍的重视和信任，而谈判则可能为米兰节省一笔开支。

未来展望：克勒舍的挑战与机遇 一旦克勒舍正式履新，他将面临巨大的挑战。

如何在短时间内重建米兰的竞争力，如何调动球员的积极性，如何在战术层面进行创新，都是他必须考虑的问题。

米兰球迷期待着他能够带领球队走出低谷，重返意甲和欧洲的巅峰。

足球，从来不是11个人的运动，它是整座城市的肾上腺素。

克勒舍的到来，无疑将为米兰注入新的活力。

球迷们在社交媒体上已经开始热议这一话题，纷纷发起#克勒舍拯救米兰#的标签，表达他们对新任足球总监的期待与支持。

结语 总的来说，克勒舍与AC米兰的协议，不仅是一个转会的新闻，更是米兰重建计划中的重要一步。

随着解约金的谈判逐渐明朗，克勒舍的正式履新指日可待。

未来的米兰，或许将在他的带领下迎来新的辉煌。