给黑洞测质量，学会牛顿力学就够了？
银河系中心黑洞的尺寸。
图片来源：综合参考文献[5], UCLA Galactic Center Group, EHTC
导 读
星系中心的黑洞重如巨兽，但又暗若幽灵。
正如我们所在的银河系中心那个沉重又隐秘的Sgr A*，足有400万倍太阳质量！但你可曾想过：要如何捕获到黑洞的存在呢？
原来，这些洪荒巨兽虽不可见，但会深刻地影响到周围那些发光“小精灵”的行为。
而掌握了周围发光小精灵的行为特点，就算是称量黑洞的体重也不是没可能！甚至，认真复习一下高中教材中的牛顿力学就够了。
本文教你如何运用牛顿力学，通过黑洞周边天体的运动来给它们“测重”。
“看不见”的黑洞
牛顿从苹果落下的现象中领悟出了万有引力定律、建立了牛顿经典力学体系的故事之所以能够广为传播，归根结底来自于牛顿力学对人类发展的深远影响。
即使从新闻中，我们也能窥见万有引力定律在现代社会中的应用。
中国空间站“天宫”的发射使得空间巡天望远镜成为可能，想让“天宫”绕地球旋转，运载火箭的初速度必须要超过地球的绕转速度，即第一宇宙速度；
火星探测器“天问一号”实现了中国首次着陆火星的探测任务，为了让“天问一号”可以脱离地球的引力向火星行进，运载火箭的初速度则需要超过地球的逃逸速度，即第二宇宙速度。
天体的逃逸速度与其质量与半径之比正相关，地球的逃逸速度大约11.2km/s，而质量是地球33万倍的太阳，其逃逸速度则高达617.7km/s，超过了目前人类科技的极限。
幸运的是，人类并不必从太阳表面出发，借助地球绕转太阳的运动，人类只需达到16.7km/s的第三宇宙速度就可以离开太阳系。
相对论假设真空中的光速是宇宙中速度的极限，那么是否存在一类天体使得光也无法从其表面逃脱呢？理论上是肯定的，物理学家为这类天体取了与其性质非常匹配的名字——黑洞。
在广义相对论理论中，黑洞是时空的奇点，它无限小，且没有物理表面。
黑洞的特征完全由三个物理量——质量、角动量和电荷决定，这被称为黑洞无毛定理。
其中，质量是第一重要的特征量。
黑洞质量联合角动量决定了光子可以逃逸区域的边界，即黑洞视界的大小，我们有时也会把视界大小当成黑洞的尺寸。
黑洞也是宇宙中质量跨度最大的单一天体——最小的恒星级黑洞仅有几倍的太阳质量，视界大小只有几千米，而最大的超大质量黑洞可达百亿倍太阳质量，视界半径可达几百万千米。
根据黑洞的定义，黑洞是“不可见”的。
那么，它们又是如何被天文学家发现的，又存在于何处呢？
“看得见”的黑洞——活动星系核
说来有趣的是，虽然黑洞是无法被看见的，但天文学家发现超大质量黑洞却始于一次“看见”。
1960年，美国的天文学家艾伦·桑德齐 (Allan Sandage, 1926-2010)第一次注意到一个射电源的发射线特征比较特殊，随后类似的射电源陆续被发现。
由于它们的光学图像如同点源，看起来与恒星很相似，因此被命名为类星体。
类星体的最初发现，使得天文学家非常困惑：它们如此遥远，却又是如此明亮致密，单个类星体的亮度即可达到银河系所有恒星总和的成百上千倍，究竟是什么样的物理过程能导致这么高密度的能量释放呢？
图1：化学反应、核聚变，以及黑洞吸积三类过程所释放能量效率的对比。
我们常见的煤燃烧释放的是化学能，能量释放率相对较低。
恒星内部核反应释放的是核能，氢核聚变的能量释放率约为0.7%，1克氘核聚变产生的能量与燃烧约10吨煤相当。
而黑洞吸积过程导致的能量释放率可达约10%，效率约为核聚变的几十倍（能量释放率=释放的能量/mc^2，量级估算，图中数字不要太当真哦）。
图片来源：NASA
这个问题的答案，就是超大质量黑洞的吸积。
超大质量黑洞虽然自身并不能释放能量，但是能吞噬周围气体。
气体在掉入黑洞的过程中，引力势能急剧变小，转换成热能辐射、韧致辐射或者动能喷向宇宙。
因为黑洞的视界面极小，在气体落入视界面的过程中，引力势能的减少可达到物质总能量mc^2的约10%，从而达到极高的能量释放率。
相比而言，核聚变的能量释放率要低得多，仅为约0.7%。
黑洞本身不发光，必须有足量的气体供给维持黑洞的吸积过程才能让它持续地发光。
进一步研究显示，许多星系都有由于超大质量黑洞的吸积形成的极为明亮活跃的中心核区，即活动星系核。
类星体也是活动星系核其中的一种，更深的观测图像显示出它们存在于寄主星系的中心。
活动星系核是天文学上最早出现的关于超大质量黑洞的证据，或者说，超大质量黑洞是最符合观测到的活动星系核特征的一种解释。
然而，活动星系核大都存在于遥远而古老的宇宙中。
随着时间的演化，星系中的气体含量大幅降低，大多数近邻星系的中心已经处于宁静状态，没有产生超高的能量释放。
但是天文学家期待宁静的黑洞仍然存在于这些星系的中心，那么问题来了，该如何证明这些看不见的、宁静的超大质量黑洞的存在？
图2：太阳系、银河系中心黑洞Sgr A*，以及M87中心黑洞的质量和尺寸大小（图片尺寸比例并非完全与实际对应）。
黑洞本身无穷小，这里黑洞的尺寸指的是黑洞视界大小。
银河系和M87黑洞的直接成像来自视界望远镜，一圈光晕中间的黑色阴影可认为是黑洞的视界面。
图片来源：EHTC
最近两年广为流传的M87和银河系中心的黑洞照片直接给出了确定无疑的证据。
如图2，这些宁静黑洞也在吸积少量的气体，从而在周围有着一圈发光的晕，照片中光晕中间存在一片黑色阴影，阴影的边沿基本上可认为是黑洞的视界。
这些黑洞的照片为黑洞的存在提供了直接证据。
如前所述，黑洞质量决定了黑洞视界的大小，因此还可以根据阴影区域的大小准确地测量黑洞的质量。
这虽然看起来很酷，但唯一的问题是，黑洞的视界太小了。
在图2中，我们对比了太阳系、银河系中心黑洞和M87中心黑洞的尺寸和质量：银河系中心黑洞约为太阳质量的400万倍，但视界阴影的尺寸只有太阳系大小的0.001倍；
M87中心黑洞是个巨无霸，达到了约65亿倍太阳质量，视界阴影的尺寸也仅为太阳系的约10倍。
即使是银河系的中心，离我们也相当遥远，要分辨中心黑洞的视界，其难度相当于要从地球上看清楚月亮上的一颗沙子。
这导致为黑洞直接拍照仅仅适合于距离最近的个别星系，难以成为观测大量星系中心的超大质量黑洞的一般方法。
在黑洞的视界照片出现以前的近三十年里，天文学家都在使用另外一种更为原始的手段来证明宁静星系中心黑洞的存在。
“看见”黑洞——通过恒星的运动
银河系中有数百亿颗处于运动中的恒星，如果我们把中心黑洞比喻成幽暗的巨兽，那么周围的恒星就是发光的小精灵。
星系中心黑洞的巨大体重对其周围恒星的运动有极强的影响力，离黑洞越近的恒星，对黑洞质量的感知越灵敏。
因此通过观测黑洞周围恒星的运动，我们可以反手推测出黑洞的质量。
银河系中心距离我们有约24000光年，要分辨清楚密布在星系中心的单颗恒星绝非易事。
然而天文学家利用特殊的观测技术，经过近20年的跟踪观测，勾画出了黑洞周围约10颗恒星的运行轨迹（如图3所示）。
其中，离黑洞最近的恒星S0-2轨迹的长直径大小约为0.03光年。
在封面图中，我们对比了银河系黑洞视界的尺寸（200光秒）与黑洞周围恒星运行轨迹的尺寸，即使对于离黑洞最近的恒星S0-2，它离黑洞的最近距离也仍有其视界大小的约3000倍。
在这个距离上，恒星不会被吞噬，它们的运动可作为黑洞质量的良好探针。
比如S0-2距离黑洞最近约为180亿千米，此时速度约为6000千米每秒。
根据这些数据，简单地应用牛顿的万有引力定律，就可以轻松计算出银河系中心黑洞的质量。
或许有读者会问，超大质量黑洞具有强大的引力，在距离黑洞如此近的恒星轨道上，仅使用牛顿力学计算出的黑洞质量是否准确，是否需要引入爱因斯坦的广义相对论呢？事实上，S0-2的轨迹确实为验证广义相对论提供了一次很好的机会。
但是如果我们只关注黑洞质量的测量，即使对于S0-2，在完全不考虑相对论效应的情况下，根据牛顿力学计算黑洞质量仅会导致约10%左右的误差，而对于更远处的恒星，广义相对论效应更加可以忽略不计了。
图3：银河系中心黑洞周围恒星的运动轨迹，蓝色和紫红色的点标记的是离黑洞最近的两颗恒星S0-2 和S0-38。
图片来源：S. Sakai/A.Ghez/Keck Observatory/UCLA Galactic Center Group
“看见”黑洞——近邻的其它星系
借助较小的望远镜，我们就可以看见月球表面的环形山和太阳表面的黑子。
使用口径极大的望远镜，我们刚刚可以勉强分辨出银河系中心单颗恒星的运动轨迹。
但是对于更遥远的其他星系，即使是目前口径最大的望远镜也无法分辨其中的单颗恒星，因为我们观测到的图像中每个像素都是无数恒星发光的叠加。
幸运的是，天文学家可以获得叠加之后恒星运动的统计学特征并运用它们测量黑洞质量，这种方法被称为动力学方法。
该方法在上世纪80年代提出，首先应用于M87中心超大质量黑洞的测量中。
图4展示了运用这种方法的一个实例：使用哈勃空间望远镜观测的M31中心恒星的运动速度弥散曲线。
靠近星系正中心，速度弥散曲线的尖峰是表征超大质量黑洞的存在并用于测量其质量的主要观测信号。
该测量得到M31中心黑洞的质量约为银河系中心黑洞质量的20倍。
图4左：如果把银河系中心放到仙女座星系（M31）所在的位置，我们可以得到图像中每个像素单元里面所有恒星叠加在一起的运动速度分布。
用一个高斯函数来拟合该速度分布，可以得到这一速度分布的两个关键特征，平均速度（平均值）和速度弥散（方差）。
图4右：哈勃空间望远镜实际测量到的M31速度弥散曲线随着离星系中心距离的变化。
离星系中心越近恒星速度弥散越大，离星系中心越远速度弥散越小。
靠近星系中心的恒星速度弥散急剧增加，这是黑洞存在的主要动力学特征。
图片来源：参考文献[2]
然而，运用上述恒星动力学方法测量超大质量黑洞的质量仍然具有一定的挑战性。
其挑战性主要表现为以下两个方面：
一方面，是观测上的挑战。
这种方法的观测对象是有限大小的区域内大量恒星运动的统计特征。
尽管星系中心黑洞的质量很高，也只占据星系中恒星的总质量的千分之几。
黑洞的引力势只在黑洞的周围占据主导，而越远离星系中心，恒星质量对引力势的贡献越大。
想要测量黑洞质量，我们必须分辨出黑洞占据引力势主导的区域，即黑洞的影响区域。
超大质量黑洞的影响区域半径一般在几到几百个光年之间。
尽管这一数值远远高于超大质量黑洞的视界半径，考虑到星系的距离往往在1千万光年以外，用光学望远镜分辨黑洞的影响区域仍然并不容易。
这一方法同样是最先用于M87中心黑洞质量的测量，因为M87中心黑洞的质量足够大，影响区域半径接近1000光年，同时M87距离我们不太远。
而绝大部分星系中心的黑洞要比M87中心黑洞质量小得多，影响半径可能只有几光年。
直到哈勃空间望远镜的出现，才使得测量近邻星系中心一些相对较小的黑洞的质量变得可能，其中包括银河系的近邻M31和M32。
另一方面，是理论上的挑战。
由于在这有限的区域内恒星的总质量不可忽略，总引力势不能够再简单近似于一个质点的引力势。
虽然恒星仍然遵循万有引力定律，但处于复杂的引力势中，它们不再按照简单的椭圆轨道运动，而是有着复杂的运动轨迹。
为了得到准确的黑洞质量，天文学家往往需要模拟大量恒星的运动轨迹（图5所示），并把它们运动的统计特征与类似图4这样的观测数据相比较。
通过模型合理地还原观测得到的恒星运动的统计学特征，天文学家可以从模型中推测出可靠的黑洞质量。
例如，用该方法测量得到的M87中心黑洞的质量，就与用黑洞照片中从视界半径计算得到的黑洞质量相当一致。
图 5：星系中可包含数亿颗处于运动中的恒星，不同恒星遵循不同的运动轨迹。
图中展示了几种典型的恒星运动轨迹。
无数恒星叠加在一起，构成了我们观测到的星系中恒星的速度分布。
图片来源：作者供图
除了运用恒星运动的统计学特征之外，气体的运动同样可以用于测量星系中心黑洞质量。
一些近邻星系中心存在着一个离黑洞很近的稳定气体盘，一直延伸到黑洞影响区域以内。
我们可以近似的认为这些气体就是在黑洞引力势的主导下做圆周运动，因此通过测量气体盘的尺寸和绕转速度，即可估算出黑洞的质量。
由于一般而言稳定气体盘的运动更接近开普勒圆周运动，运用气体运动测量黑洞质量甚至更加简单，但并不是所有星系中心都有这样的气体盘。
甚至对于更为古老遥远的活动星系核，也有类似利用黑洞周围弥散气体的运动测量其质量的方法。
只是这些气体的空间尺寸不再可以直接测量，只能通过一种间接的反响映射的方法得到，弥散气体的运动本身也比圆周运动复杂得多，因此测得的黑洞质量的误差要比前述方法大得多。
过去30年间，国际上一些大型天文设备，尤其是哈勃空间望远镜，与地面有自适应光学系统的大口径光学望远镜的启用，使得对近邻星系中心超大质量黑洞的测量变得普遍。
迄今为止，天文学家通过前述的恒星动力学方法精确测量了约100个近邻星系中心黑洞的质量，从数百万倍到数十亿倍太阳质量不等。
出人意料的是，尽管中心黑洞的质量只占星系总质量约0.1%到1%，小到几乎可以忽略，但却和星系中间较圆的核球结构的质量有很强的相关性（对于椭圆星系来说，核球即为整个星系）。
这也意味着，有一种精确的调节机制控制了星系中心黑洞质量的增长，而黑洞反过来也影响着整个星系的形成和演化。
黑洞和星系如何相互影响、共同演化，是目前天文学的一个热点前沿问题。
这其中也有少数例外，比如图6中NGC1277的中心黑洞质量就异乎寻常地大，约占星系核球质量的10%。
这些反常的个例很可能为天文学家理解黑洞和星系质量的增长方式提供额外的线索。
图6：星系核球质量和中心黑洞质量之间的关系。
绝大多数的星系，包括银河系、M31和M87，它们的黑洞质量都和星系中间较圆的核球结构的质量非常紧密地正相关，即黑洞质量只占了核球总质量的0.1%到1%。
但是，也存在少数反常的星系，比如NGC 1277，它的黑洞质量反常地占到了核球质量的约10%。
图片来源：参考文献[3][4]
展望未来
历久弥新，基于经典牛顿力学的恒星动力学方法仍然是现在测量黑洞质量最可靠的方法之一。
但我们认识宇宙的脚步从不停滞，新的望远镜不断更新着我们对宇宙的认识。
尤其是2030年左右下一代三十米级光学红外望远镜将会涌现，最近升空的詹姆斯·韦布空间望远镜以及建造中的中国载人空间站工程巡天空间望远镜，都将带领天文学家们“看见”更多黑洞，增进人类对黑洞的演化和增长历史的认知。
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