学高中数学竞赛、物理竞赛要掌握哪些知识？

2025年竞赛生重点参考~

学科竞赛实质上是对课内知识的深化与拓展，其范畴远超高中课程内容。

因此，对于有意向参与高中数学竞赛和高中物理竞赛的学生而言，仅掌握高中知识是远远不够的，还需广泛涉猎额外知识。

以高中物理竞赛为例，其内容已涵盖部分大学物理知识。

为此，自主选拔在线团队对相关知识点进行了梳理，详情如下。

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数学竞赛

　　需要的知识

　　1)高中部分

　　对于数学竞赛生来说，在全国高中数学联赛(一试)及之前所需要的只是高中知识，因为数学联赛一试的考察范围明确说明不会超过高考所涉及的知识范围，但在方法的要求上有所提高。

　　2)课外部分

　　数竞生除了高中知识外真正需要补充学习的是从应对数学联赛二试考试开始，因为数学联赛(二试)与中国数学奥林匹克(冬令营)、国际数学奥林匹克接轨，所以在高中知识外进行了扩展，主要涉及平面几何、代数、数论和组合四部分知识，具体如下：

　　① 平面几何

　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;三角形旁心、费马点、欧拉线;几何不等式;几何极值问题;

　　几何中的变换：对称、平移、旋转;

　　圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

　　② 代数

　　周期函数，带绝对值的函数;三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数;递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式;

　　第二数学归纳法;平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用;复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根;

　　多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*;n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理;函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

　　③ 数论

　　同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

　　④ 组合

　　圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式;组合计数，组合几何;抽屉原理;容斥原理;极端原理;图论问题;集合的划分;覆盖;平面凸集、凸包及应用*。

　　(有*号的内容加试中暂不考，但在CMO、IMO中可能考。

)

　　以上就是数学竞赛生除了高中数学还需要补充学习的知识了。

关于物理竞赛所涉及的知识本文将在下面继续做出盘点。

物理竞赛

　　需要的知识

　　对于物理竞赛生来说，除了需要掌握高中物理和高中数学外，还会涉及到部分大学物理和数学知识。

　　1)高中部分

　　① 高中数学

　　学习目标：厘清基本概念，会应用三角函数以及导数公式即可。

　　推荐书籍：以人教版为例，必修一的函数概念、必修四的三角函数与向量、选修2-2的导数与复数基础都是竞赛学习比较重要的数学基础。

　　② 高中物理

　　刚接触竞赛的半年到一年需要完成高中课内物理的学习，学习目标：做到会应用物理定律解题已经足够。

　　推荐书籍：高中课内物理教材及对应的教辅，教辅方面可以选择普通的应对高考的教辅，如果以自学为主，可以选择带有讲解的教辅，王后雄、教材帮等不一而足。

　　另外也可选择沈克琦高中物理学这样与竞赛衔接更加紧密的书籍作为提高。

　　2)大学部分

　　我们可以把物理竞赛需要掌握的大学知识，大体上分成两部分：物理部分和数学部分。

　　① 数学部分

　　数学部分主要要求的是微积分，当然，根据层次的不同，对数学的要求也是有所不同的。

建议学习的微积分入门知识：极限、导数与微分、洛必达法则、泰勒公式、不定积分、定积分、简单的微分方程。

　　② 物理部分

　　物理部分，除了高考课内的知识点以外，还要补充相当一部分大学中物理课程的知识。

首先是普物(大学普通物理)，然后目标国集的同学可以学学四大力学，如果还有兴趣和精力，可以继续学习进一步的大学知识，如四大力学、复变函数、线性代数、数理方程等。

　　推荐书籍：高等数学、新概念物理系列

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