数学课堂重在让学生学会思考
【千问解读】
很多人听过这样一则故事：有一天苏格拉底带着学生在湖边散步，不经意地问学生：“你们知道这湖里有多少桶水吗？”学生们很是惊讶，望着广阔的湖面不知如何回答，接着纷纷讨论起来：有的说湖水太多了无法用桶来计量，有的说要先计算湖水的体积再除以桶的体积……苏格拉底听了摇摇头表示不满意。
最后学生柏拉图说：“假如桶的大小和湖一样大，那湖里的水只有一桶；假如桶的大小只有湖的一半那么大，那么湖里的水就有两桶；假如桶的大小只有湖的三分之一，那湖里的水就有三桶；假如……”听到这里，苏格拉底满意地笑了。
这个故事对数学教学的启示是：遇到现实问题不能简单地套用数学公式，而要找到解决问题的关键，用数学的思维方式来分析解答。
这正是《义务教育数学课程标准（2022年版）》所强调的数学学科核心素养“三会”之一：会用数学的思维思考现实世界。
数学的产生和发展是人类不断思考研究的结果，思考是数学的本质特征。
10以内数的认识和大小比较，包含着“抽象、一一对应”；多边形的面积计算蕴含着“转化、推理”；稍复杂的问题解决承载着“分类讨论、假设、数学建模……”每一个数学知识都是人类思考的智慧结晶，蕴含着有助于人们提高认知、发展关键能力的基本数学思想和方法。
学习数学的核心价值是借助数学知识这个载体帮助学生掌握更具普适意义的数学思想和思维方式，成长为会独立思考、能解决实际问题的时代新人。
如何通过课堂培养学生数学思维能力？
素养导向：以数学思考为学习的核心目标
对小学生而言，通过数学学习，除了可以获得一些基础知识和基本技能外，更重要的是在解决问题的活动中感知数学知识的发生发展过程，逐步学会数学的观察、思考和表达方式。
我一直把“数学思考”作为课堂教学的重心，把数学课视为带着一群孩子经历思考的过程。
以加法交换律为例，常规的教法是创设真实情境引出个例，引导学生举例验证得出结论并用字母公式表示（a+b=b+a），然后巩固和应用。
这样的教学过程缺少思维的碰撞，没有真正触及数学学习的本质。
我是这样处理的：
首先，创设两只猴子采摘桃子的真实情境得出等式3+5=5+3，让学生写出若干类似的等式，初步感知加法交换律；接着追问：这样的情形一定成立吗？引导学生通过举例、画图、尝试举反例等多种方式来进一步验证；再次追问：为什么两个加数交换位置后和不变？启发学生借助直观的线段图观察思考并理解：交换加数位置其实只是改变数数的顺序但没有改变数量；最后设问：看到加法有交换律你们会联想到什么？又该如何来验证呢？再一次指引学生通过类比联想到乘法、减法、除法是否有交换律，并应用前面的方法来验证说理。
这节课我上过多次，无论是偏远山区还是中心城区，学生都表现出高涨的学习热情。
在问题驱动下，学生积极主动地尝试探究、猜想验证，持续发现新知并获得学习成功的快乐体验。
学习内容从单一知识点到多个知识链拓展，验证方法从简单举例向理性说理进阶，课堂教学从获取知识向发展思维转型，可谓一石三鸟。
问题驱动：创设真实问题情境激活数学思考
思考源于问题，学习是由具体情境中的问题驱动的。
小学生认识和学习数学的过程大多是对现实经验的理解与反思的过程，他们更喜欢从身边的生活事例入手学习新知。
因此，我常常将身边的小故事、益智游戏和现实问题改编为具有数学思考价值的问题情境，激发学生的数学思考。
比如在学习多边形面积计算时，我设计了一节单元起始课，让学生用七巧板拼出长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形等图形，然后提出问题：这些图形的面积一样吗？它们能互相转化吗？如何转化？
学生调用七巧板拼图经验重点围绕“如何转化”自主思考、合作探究，终于找到了很多转化的方法路径，为整个单元的高效学习做好了方法和观念的准备。
强化应用：解决挑战性现实问题夯实数学思考
小学生形成逻辑思维能力、学会思考、能解决实际问题并非一蹴而就，而是在解决真实的问题中循序渐进不断累积的。
为此，我在教学中采取了如下做法：
首先，增加数学应用。
我在常规数学课堂中设置应用环节，让学生解决生活实际问题，并逐步养成“读、找、画、算、验、答”六步解题习惯。
比如学习倍的知识，让学生解答“爷爷今年72岁，比小刚的5倍还多2岁，求小刚今年是几岁？”等年龄问题。
学生需阅读文本找到关键信息、画图表征数量关系、列式计算、再检验作答，整个解题过程就是数学思考的过程，在夯实数学知识的同时让学生养成独立思考的习惯。
其次，开展主题研究。
如在学习圆的面积之后，让学生合作解决“定长314米的绳子所围的土地面积”，学生探究发现：在不借助其他条件时，围成圆面积最大；但借助其他条件（如围墙、河流等）则有更多不确定的结果。
这样的学习活动能更好地帮助学生学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考现实世界。
最后，解答思维挑战题。
如文章开始讲的“湖水有几桶”这样的问题，可以打破常规思维的束缚，激发学生的求异思维和创新精神。
再比如用直尺度量正方体对角线的长度、解决不规则图形的面积体积等。
学生们想到了用数格子、割补法来解答，在不同方法的交流碰撞中激发学生的求异思维和创新意识。
总之，数学课堂教学不能拘泥于知识和技能的习得，要让学生时时刻刻处于思考之中。
思考是数学学习的本质特征，没有数学思考就没有理想的数学课堂。
（作者系宁波市鄞州区教育学院小学数学教研员、中学高级教师）
《中国教育报》2024年11月01日 第05版
作者：沈百军
2025高考数学如何考？新高考数学题型及分值分布提前了解
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2024高考试题数量减少了3题。
除单选题的个数和分数(8个，40分)不变外，其他题型在个数和分数上均有所调整，将原来的4个多选题(20分)、4个填空题(20分)、6个解答题(70分)分别减少为3个多选题(18分)、3个填空题(15分)、5个解答题(77分)，其中只有解答题增加了分数。
2、试题题型大调整 解答题也不再是之前的三角、数列、导数、立体几何、解析几何、概率统计全考，而是六个板块中选出4个考查，最后一个题目考查考生的综合能力。
3、试题更注重通性法 本次试卷试题淡化解题技巧，注重通性通法。
题目设置层次递进有序，难度结构合理，大部分为常规题目。
中低难度的题目平和清新，重点突出。
高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了很好的区分性。
①第1、2、3、4、10、12、15题(共44分)属于简单题，主要考查基本概念和基本运算。
②第5、6、7、9、11、13、16、17题(共62分)属于中等考查难度的题目。
主要考查常规的计算和推理，落实双减。
4、试题更有“数学味” 之前的试卷为了强调所谓的情境，前面有一大段废话，这些话有没有都不影响题目的意思。
与2022，2023年的高考题不同，这次考试多了非常多简单题。
简单题多，可以保证平均分不至于太低。
这份试卷想拿高分很难，想拿低分也难。
对于中上水平的学生不利，难题不会做，简单题你会人家也会，追不上数学顶尖学生，也拉不开差生的距离。
未来考生如何应对 一、重视教材与基础 ①回归课本：2024年高考数学中，有多道题目直接关联到课本例题和练习题，甚至出现了课本原题。
因此，2025年的考生应特别重视教材，确保对课本中的例题、练习题有深刻的理解和掌握。
不要等到最后阶段才匆忙复习课本，而应贯穿整个复习过程。
②强化基础：基础知识和基本技能的掌握是解题的关键。
考生应确保对函数、导数、圆锥曲线、三角函数等核心知识点有扎实的基础，并能熟练应用于各种题型。
二、关注考点变化与趋势 ①分值变化：从2024年高考数学可以看出，函数与导数、圆锥曲线、三角函数的分值有所上升。
因此，在2025年的备考中，应加强对这些知识点的复习和练习，提高解题能力和技巧。
②题型变化：新高考数学试卷中，题型的随机性和融合性增强，如跨章节的融合题、新题型的出现等。
考生应关注这些变化，适应新的题型和解题思路，提高应对能力。
三、提升解题能力与思维 ①培养观察与推理能力：在解题过程中，要注重观察题目中的条件和结论，通过推理和联想找到解题的突破口。
例如，在圆锥曲线和数列的融合题中，需要观察结构、推理分析函数性质等。
②总结解题思想：在做题过程中，不仅要关注答案的正确性，更要关注解题过程中的思想和方法。
通过总结解题思想，可以提高解题的效率和准确性。
四、加强计算与细节处理 ①提高计算能力：计算是数学解题的基础，考生应加强对常规计算的训练，确保在考试中能够准确无误地完成计算。
同时，要注意计算方法的优化和简化，提高计算效率。
②注重细节处理：在解题过程中，要注重细节的处理，如单位换算、正负号判断、小数点位数等。
这些细节问题往往容易导致失分，因此考生应特别注意。
明代数学家程大位生平简介，故居简介
字汝思，号宾渠，，南直隶徽州府休宁县率口(今黄山市屯溪)人。
少年时，读书极为广博﹐对书法和数学颇感兴趣，一生没有做过官。
20岁起便在长江中﹑下游一带经商。
因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得。
约40岁时回家，专心研究，参考各家学说，加上自己的见解，于60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简称《算法统宗》)。
诚如英国李约瑟所说：“在明代数学家当中，最引人注目的是程大位”，“在程大位《直指算法统宗》以前，没有任何关于近代珠算算盘的完整叙述”，可谓集成计算的鼻祖。
人物简介 程大位，嘉靖十二年四月初十(1533年5月3日)出生於商人家庭，自幼聪敏好学，因商业上的需要，对数学很有兴趣，少时随父外出经商，遨游吴楚，博访闻人达士，遇有“耆通数学者，辄造访问难，孜孜不倦。
”程大位在商务往来中，有感于传统筹码计数法的不便，决心编撰一部简明实用的数学书以助世人之用。
为实现自己的远大抱负，不惜重金购求遗书。
四十岁时，倦于外游，便弃商归故里，认真钻研古籍，撷取名家之长，历经二十年，于明壬辰年(1592)写就巨著《算法统宗》十七卷和附录《算法源流》记录了元丰、绍兴、淳熙以来所刊刻的各种算书，其中有《盘珠集》、《走盘集》，惜二书已失传。
其后六年，又对该书删繁就简，写成《算法纂要》四卷，成为后世民间算家最基本的读本。
《算法统综》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道数学难题并记载了解决方法，堪称中国16—17世纪数学领域集大成的著作。
这两部巨著是我国古代最完善的珠算经典之作，开创了珠算计数的新纪元，明末，日本人毛利重能将其译成日文，开日本“和算”之先河。
前期，该书又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著。
人物故居 程大位故居坐落在安徽省黄山市屯溪区率口渠东，占地540平方米，建于明正德年间。
宅第主楼坐北朝南，三开间两进(俗称“一脊两堂”)，二层，砖木结构，门楼里外挑檐，曲梁斗拱，马头山墙。
西侧为祀祖楼，五开间，倚主楼而建。
入口处就势建“宾园”一座，园内有仿古回廊、草坪及花圃。
临宾园原有人工水渠一道，当地后裔称该渠为“宾公渠"，公号"宾渠"即源出于此。
程大位故居始建于明代弘治年间，已经有500多年的历史。
程大位故居占地面积4000多平方米，于1986年9月18日程大位逝世380周年纪念日正式对外开放，博物馆由故居祭祖楼、资料馆(覃思堂)、宾园四部份组成。
全馆共收藏文史资料4000多份，不同形状、不同功能的算具(质地有金、银、铜、铁、锡、石、骨、象牙、泥、陶、玻璃、塑料、种子、海珠等数十种材料)近千件，充分展示了中国第五大发明——珠算发展、演变 的历程。
特别是程大位先生穷毕生精力所著《直指算法统宗》和《算法纂要》，开创了中国珠算新的里程碑。
他的《直指算法统宗》成书并刊印出版于1592年5月，此书广泛流传300多年不衰，并在1600年流传到日本，开创了日本和算的先河，日本每年8月8日均要举行隆重的纪念活动，以纪念程大位先生。
明末时期，他的书广泛传遍东南亚、欧洲和美洲，为世界珠算发展奠定了基础。
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