数学课堂重在让学生学会思考
【千问解读】
很多人听过这样一则故事：有一天苏格拉底带着学生在湖边散步，不经意地问学生：“你们知道这湖里有多少桶水吗？”学生们很是惊讶，望着广阔的湖面不知如何回答，接着纷纷讨论起来：有的说湖水太多了无法用桶来计量，有的说要先计算湖水的体积再除以桶的体积……苏格拉底听了摇摇头表示不满意。
最后学生柏拉图说：“假如桶的大小和湖一样大，那湖里的水只有一桶；假如桶的大小只有湖的一半那么大，那么湖里的水就有两桶；假如桶的大小只有湖的三分之一，那湖里的水就有三桶；假如……”听到这里，苏格拉底满意地笑了。
这个故事对数学教学的启示是：遇到现实问题不能简单地套用数学公式，而要找到解决问题的关键，用数学的思维方式来分析解答。
这正是《义务教育数学课程标准（2022年版）》所强调的数学学科核心素养“三会”之一：会用数学的思维思考现实世界。
数学的产生和发展是人类不断思考研究的结果，思考是数学的本质特征。
10以内数的认识和大小比较，包含着“抽象、一一对应”；多边形的面积计算蕴含着“转化、推理”；稍复杂的问题解决承载着“分类讨论、假设、数学建模……”每一个数学知识都是人类思考的智慧结晶，蕴含着有助于人们提高认知、发展关键能力的基本数学思想和方法。
学习数学的核心价值是借助数学知识这个载体帮助学生掌握更具普适意义的数学思想和思维方式，成长为会独立思考、能解决实际问题的时代新人。
如何通过课堂培养学生数学思维能力？
素养导向：以数学思考为学习的核心目标
对小学生而言，通过数学学习，除了可以获得一些基础知识和基本技能外，更重要的是在解决问题的活动中感知数学知识的发生发展过程，逐步学会数学的观察、思考和表达方式。
我一直把“数学思考”作为课堂教学的重心，把数学课视为带着一群孩子经历思考的过程。
以加法交换律为例，常规的教法是创设真实情境引出个例，引导学生举例验证得出结论并用字母公式表示（a+b=b+a），然后巩固和应用。
这样的教学过程缺少思维的碰撞，没有真正触及数学学习的本质。
我是这样处理的：
首先，创设两只猴子采摘桃子的真实情境得出等式3+5=5+3，让学生写出若干类似的等式，初步感知加法交换律；接着追问：这样的情形一定成立吗？引导学生通过举例、画图、尝试举反例等多种方式来进一步验证；再次追问：为什么两个加数交换位置后和不变？启发学生借助直观的线段图观察思考并理解：交换加数位置其实只是改变数数的顺序但没有改变数量；最后设问：看到加法有交换律你们会联想到什么？又该如何来验证呢？再一次指引学生通过类比联想到乘法、减法、除法是否有交换律，并应用前面的方法来验证说理。
这节课我上过多次，无论是偏远山区还是中心城区，学生都表现出高涨的学习热情。
在问题驱动下，学生积极主动地尝试探究、猜想验证，持续发现新知并获得学习成功的快乐体验。
学习内容从单一知识点到多个知识链拓展，验证方法从简单举例向理性说理进阶，课堂教学从获取知识向发展思维转型，可谓一石三鸟。
问题驱动：创设真实问题情境激活数学思考
思考源于问题，学习是由具体情境中的问题驱动的。
小学生认识和学习数学的过程大多是对现实经验的理解与反思的过程，他们更喜欢从身边的生活事例入手学习新知。
因此，我常常将身边的小故事、益智游戏和现实问题改编为具有数学思考价值的问题情境，激发学生的数学思考。
比如在学习多边形面积计算时，我设计了一节单元起始课，让学生用七巧板拼出长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形等图形，然后提出问题：这些图形的面积一样吗？它们能互相转化吗？如何转化？
学生调用七巧板拼图经验重点围绕“如何转化”自主思考、合作探究，终于找到了很多转化的方法路径，为整个单元的高效学习做好了方法和观念的准备。
强化应用：解决挑战性现实问题夯实数学思考
小学生形成逻辑思维能力、学会思考、能解决实际问题并非一蹴而就，而是在解决真实的问题中循序渐进不断累积的。
为此，我在教学中采取了如下做法：
首先，增加数学应用。
我在常规数学课堂中设置应用环节，让学生解决生活实际问题，并逐步养成“读、找、画、算、验、答”六步解题习惯。
比如学习倍的知识，让学生解答“爷爷今年72岁，比小刚的5倍还多2岁，求小刚今年是几岁？”等年龄问题。
学生需阅读文本找到关键信息、画图表征数量关系、列式计算、再检验作答，整个解题过程就是数学思考的过程，在夯实数学知识的同时让学生养成独立思考的习惯。
其次，开展主题研究。
如在学习圆的面积之后，让学生合作解决“定长314米的绳子所围的土地面积”，学生探究发现：在不借助其他条件时，围成圆面积最大；但借助其他条件（如围墙、河流等）则有更多不确定的结果。
这样的学习活动能更好地帮助学生学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考现实世界。
最后，解答思维挑战题。
如文章开始讲的“湖水有几桶”这样的问题，可以打破常规思维的束缚，激发学生的求异思维和创新精神。
再比如用直尺度量正方体对角线的长度、解决不规则图形的面积体积等。
学生们想到了用数格子、割补法来解答，在不同方法的交流碰撞中激发学生的求异思维和创新意识。
总之，数学课堂教学不能拘泥于知识和技能的习得，要让学生时时刻刻处于思考之中。
思考是数学学习的本质特征，没有数学思考就没有理想的数学课堂。
（作者系宁波市鄞州区教育学院小学数学教研员、中学高级教师）
《中国教育报》2024年11月01日 第05版
作者：沈百军
校友会2024和2025大学排名，结果大相迥异，前十名你能想得到吗？
全球排行前十大学
今天，就让我们一同走进 2025 年世界排名前十的大学，深入领略它们独特的魅力与风采！ 1. 麻省理工学院（MIT）—— 美国 多年来稳居榜首，实力强劲到令人惊叹！它的工程系简直就是王牌中的王牌，连续七届在竞争激烈的美国工科研究生课程评比中斩获冠军 电子工程专业更是声名远扬，在行业内拥有着极高的认可度。
机械工程专业同样表现出色，一点也不逊色。
此外，物理学、化学、经济学等学科领域也成绩斐然，斯隆商学院的 MBA 项目更是在全球范围内都享有盛誉，培养出了无数商业精英。
想要踏入这所顶尖学府的大门可不容易，新生托福成绩中位数达到 100 分，雅思成绩中位数为 7.0 分，SAT 阅读和数学部分平均分为 750 分，ACT 成绩平均分为 34 分，可见对申请者的成绩要求相当之高！ 2. 帝国理工学院 —— 英国 今年排名上升至第二位，在工程、科学、医学和商业等多个领域都有着十分突出的表现。
特别是在工程与技术领域，电子电气工程、化学工程等学科在世界上都名列前茅。
其 A - Level 成绩基础要求通常为 AAA - AAA，IB 成绩基础要求为总分不低于 38 - 42，相关 HL 学科成绩更是需要达到 6 - 7 ，如此高标准也彰显了它的卓越品质。
3. 牛津大学 —— 英国 位列第三，以其深厚的人文底蕴和自由开放的学术氛围闻名于世。
在人文社会科学、自然科学等多个领域，牛津大学都取得了卓越的成就，培养出了众多影响世界的杰出人才。
在入学要求方面，A - Level 成绩通常要求达到 AAA 或更高，部分专业可能还会要求特定科目达到 A*；IB 成绩通常要求 IB 总分达到 38 - 40 分，HL 科目成绩达到 7 或 6 ，严格的标准也保证了生源的高质量。
4. 哈佛大学 —— 美国 排名第四，作为世界顶尖学府，在法学、医学、商学等领域都处于世界领先的地位。
哈佛法学院是全球著名的法律教育和研究中心之一，培养出了无数法律界的精英；哈佛医学院及其附属教学医院在临床医学等多个领域都位居全球前列，为医学发展做出了巨大贡献；哈佛商学院更是商业领袖的摇篮，孕育出了无数商业传奇人物。
5. 剑桥大学 —— 英国 排名第五，在文学、历史、哲学、经济学、法学等人文社会科学领域拥有众多顶尖学者，他们的学术研究成果影响深远，在全球范围内都备受关注。
A - Level 成绩通常要求达到 AAA 或更高，IB 成绩通常要求 IB 总分达到 38 - 40 分，HL 科目成绩达到 7 或 6 ，严谨的学术氛围和高要求的入学标准，共同铸就了剑桥大学的辉煌。
6. 斯坦福大学 —— 美国 排名第六，作为美国西部的学术中心之一，在工程学、计算机科学等领域表现十分突出，与加州大学伯克利分校共同构成了强大的学术联盟。
这里的学术氛围浓厚，创新精神十足。
SAT 总分在 1450 - 1590 之间，ACT 均分范围在 31 - 35 之间，如此高的分数要求，也反映出了学校对学生学术能力的高期望。
7. 苏黎世联邦理工学院 —— 瑞士 排名第七，在地球与海洋科学、地质学、工程 - 土木和结构等众多学科在 2024 年世界 QS 大学学科排名中都位居世界前列。
学校要求申请者具备优异的学术成绩单，尤其是在数学、科学和工程相关课程中要有出色的表现，这也使得从这里毕业的学生都具备扎实的专业基础。
8. 新加坡国立大学 —— 新加坡 排名第八，作为亚洲领先的高等教育机构之一，在工程、生命科学、社会科学等多个领域都展现出了强大的实力。
学校注重国际化教育，为学生提供了广阔的发展空间和丰富的学习资源。
9. 伦敦大学学院 —— 英国 排名第九，药理毒理、放射学、教育与教育研究等多个学科在 2023 US News 学科排名前 50。
对于申请者的要求，985/211 学生均分 85 以上可以申请一些热门专业，而双非学生的要求则会更高，这也体现了学校对学生综合素质的重视。
10. 加州理工学院 —— 美国 排名第十，在科学和工程领域实力强劲，培养了众多顶尖人才。
学术成绩要求 GPA 成绩为 3.5+，实际申请中在读 GPA 达到 4.0 + 录取几率较大；SAT 录取均分为 1530 - 1580，ACT 录取均分为 35 - 36 ，高要求筛选出了一批又一批优秀的学生，也保证了学校的学术水平。
这十所世界名校，每一所都有着独一无二的学术氛围和优势学科，是无数学生心中梦寐以求的求学圣地。
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