两千年数学经典《几何原本》：23个定义奠定几何根基，你了解多少
【千问解读】
欧几里得的《几何原本》被誉为数学史上最具影响力的著作之一，在西方被用作教科书超过 2000 年，对逻辑和现代科学的发展中发挥了重要作用，其逻辑严谨性直到 19 世纪才被超越。
他在书中开头便列出了 23 个定义，给出了点、线、平面、圆、钝角和锐角等数学术语的定义，随后才给出了 5 种基本概念、5 大公设，并依此推导出大量命题与证明，内容涵盖平面几何、立体几何以及初等数论等领域。
这些精心设计后的定义背后是为了建立共同的术语，在几何学的研究中提供一个清晰的起点。
通过明确定义几何学中的关键概念，如点、线、角等，欧几里得确保了读者对这些概念的理解保持一致。
这使得几何学可以成为一个严谨的学科，其中的推理和证明可以建立在统一的基础上。
例如，欧几里得给出的第一条定义是：“点是没有部分的事物”。
这个定义表达了点作为几何学的基本元素的概念，它没有长度、宽度或厚度，只是代表了一个位置。
其他定义，如线段、角和平行线的定义，都揭示了几何学中的重要关系和特性。
下文就是这 23 个定义简要分类：
基本几何对象: 定义 1-7角: 定义 8-12边界与图形: 定义 13-14圆: 定义 15-18三角及多边形: 定义 19-22平行线: 定义 23✪ 随着数学理论的发展，某些定义在当代数学中已经有所修正或扩展。
笔者水平有限，所译内容有更精确的方法，欢迎后台留言、批评指正。
点、线、面：基本几何元素的定义
定义 1：点
A point is that which has no part.
点是没有部分的。点是没有大小、形状或任何内在结构的基本几何对象，只用来表示空间中的一个精确位置。
定义 2：线
A line is breadthless length.线只有长度，没有宽度。线是一种只有长度而无宽度或厚度的一维对象。
虽然欧几里得所描述的“线”通常指的有限线段（有端点，见下文定义 3）——包含直线和曲线，但在现代数学中，是将“直线”视为在两端无限延伸的理想化对象。
定义 3：线的端点
The extremities of a line are points.线的两端为点。根据欧几里得的定义 2 和 3，《几何原本》中的“线”是具有长度的，并且有端点。
这意味着欧几里得的“线”并不是无限延伸的，而是由两个端点界定的，即现代所说的线段。
定义 4：直线
A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.直线是一条在自身上的点均匀分布的线。这表明直线是「线」的一种特殊形式，具有完全笔直的性质。
定义 5：面
A surface is that which has length and breadth only.面只有长度和宽度。面是只有长度和宽度，没有厚度的二维几何对象。
欧几里得的「面」概念可以看作是现代几何中的二维空间或曲面，而在下面定义7中的「平面」则特指那些平坦且无限延伸的二维表面。
定义 6：面的边界
The extremities of a surface are lines.面的边界是线，线将面围成一个区域。定义 7：平面
A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.平面是其上直线均匀分布的面。角与角度的定义
定义 8：平面角
A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.平面角是两条在同一平面上相交但不共线的线之间的倾斜度。定义 9：直线角
And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilineal.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫直线角。定义 10：直角与垂直
When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个都是直角，而且称直线彼此垂直。定义 11：钝角
An obtuse angle is an angle greater than a right angle.大于直角的角叫钝角。现代定义中，钝角的度数介于90°与180°之间。
定义 12：锐角
An acute angle is an angle less than a right angle.小于直角的角叫锐角。现代定义中，锐角的度数介于0°与90°之间。
unsetunset边界与图形的定义unsetunset
定义 13：边界
A boundary is that which is an extremity of anything.边界是物体的边缘。定义 14：图形
A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.一个图形是由一个边界或几个边界所围成的。在欧几里得的几何中，图形主要指二维的几何形状，如三角形、四边形、圆等。
但从定义上，它也适用于三维图形，如立方体、球等。
圆与相关概念
定义 15：圆
A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another;圆是一个平面图形，由一条闭合曲线（圆周）围成，圆周上的所有点到圆内一个特殊点的距离相等。定义 16：圆心
And the point is called the centre of the circle.该点称为圆心。定义 17：直径
A diameter of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
圆的直径是通过圆心且两端在圆周上的线段，它是圆中最长的线段，并且将圆分成两个相等的部分。定义 18：半圆
A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle.半圆是直径和由它截得的圆弧所围成的图形，且半圆的心和圆心相同。三角形及多边形
定义 19：直线图形（即多边形）
Rectilineal figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.直线图形是由直线围成的，三边形是由一条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的。定义 20：三角形根据边长分类
Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形。定义 21：三角形根据角度分类
Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acute-angled triangle that which has its three angles acute.此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形:有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。定义 22：四边形的分类
平行线的定义
定义 23：平行线
现代数学中，平行的概念可用向量或距离方法严格定义，同时在非欧几里得几何中，平行概念会有不同解释。
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全球排行前十大学
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3. 牛津大学 —— 英国 位列第三，以其深厚的人文底蕴和自由开放的学术氛围闻名于世。
在人文社会科学、自然科学等多个领域，牛津大学都取得了卓越的成就，培养出了众多影响世界的杰出人才。
在入学要求方面，A - Level 成绩通常要求达到 AAA 或更高，部分专业可能还会要求特定科目达到 A*；IB 成绩通常要求 IB 总分达到 38 - 40 分，HL 科目成绩达到 7 或 6 ，严格的标准也保证了生源的高质量。
4. 哈佛大学 —— 美国 排名第四，作为世界顶尖学府，在法学、医学、商学等领域都处于世界领先的地位。
哈佛法学院是全球著名的法律教育和研究中心之一，培养出了无数法律界的精英；哈佛医学院及其附属教学医院在临床医学等多个领域都位居全球前列，为医学发展做出了巨大贡献；哈佛商学院更是商业领袖的摇篮，孕育出了无数商业传奇人物。
5. 剑桥大学 —— 英国 排名第五，在文学、历史、哲学、经济学、法学等人文社会科学领域拥有众多顶尖学者，他们的学术研究成果影响深远，在全球范围内都备受关注。
A - Level 成绩通常要求达到 AAA 或更高，IB 成绩通常要求 IB 总分达到 38 - 40 分，HL 科目成绩达到 7 或 6 ，严谨的学术氛围和高要求的入学标准，共同铸就了剑桥大学的辉煌。
6. 斯坦福大学 —— 美国 排名第六，作为美国西部的学术中心之一，在工程学、计算机科学等领域表现十分突出，与加州大学伯克利分校共同构成了强大的学术联盟。
这里的学术氛围浓厚，创新精神十足。
SAT 总分在 1450 - 1590 之间，ACT 均分范围在 31 - 35 之间，如此高的分数要求，也反映出了学校对学生学术能力的高期望。
7. 苏黎世联邦理工学院 —— 瑞士 排名第七，在地球与海洋科学、地质学、工程 - 土木和结构等众多学科在 2024 年世界 QS 大学学科排名中都位居世界前列。
学校要求申请者具备优异的学术成绩单，尤其是在数学、科学和工程相关课程中要有出色的表现，这也使得从这里毕业的学生都具备扎实的专业基础。
8. 新加坡国立大学 —— 新加坡 排名第八，作为亚洲领先的高等教育机构之一，在工程、生命科学、社会科学等多个领域都展现出了强大的实力。
学校注重国际化教育，为学生提供了广阔的发展空间和丰富的学习资源。
9. 伦敦大学学院 —— 英国 排名第九，药理毒理、放射学、教育与教育研究等多个学科在 2023 US News 学科排名前 50。
对于申请者的要求，985/211 学生均分 85 以上可以申请一些热门专业，而双非学生的要求则会更高，这也体现了学校对学生综合素质的重视。
10. 加州理工学院 —— 美国 排名第十，在科学和工程领域实力强劲，培养了众多顶尖人才。
学术成绩要求 GPA 成绩为 3.5+，实际申请中在读 GPA 达到 4.0 + 录取几率较大；SAT 录取均分为 1530 - 1580，ACT 录取均分为 35 - 36 ，高要求筛选出了一批又一批优秀的学生，也保证了学校的学术水平。
这十所世界名校，每一所都有着独一无二的学术氛围和优势学科，是无数学生心中梦寐以求的求学圣地。
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