2025年4月杭州二中、长郡中学、南师附中三校联考数学试题及答案

2025年4月杭州二中、长郡中学、南师附中三校联考数学试题及答案可通过以下途径获取，试题内容覆盖函数、数列、几何、概率统计等高考核心板块，题型包含选择、填空、解答三类：

2025年4月杭州二中、长郡中学、南师附中三校联考数学试题（部分节选）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 复数运算
   已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 zi=1+i，则 z⋅z=（ ）
   答案：C. 2

2. 充分必要条件
   已知 x,y∈R，则 xy<0 是 ∣x−y∣=∣x∣+∣y∣ 的（ ）
   答案：A. 充分不必要条件

3. 四边形面积计算
   在四边形 ABCD 中，若 AC=(1,3)，BD=(−6,2)，则该四边形的面积为（ ）
   答案：C. 10

4. 三角函数值域
   函数 y=sin(x+2π)，x∈(−3π,65π] 的值域为（ ）
   答案：B. [−23,1]

5. 等差数列与等比数列
   已知等差数列 {an} 的公差为 2，a2,a3,a6 成等比数列，则 {an} 的前 n 项和 Sn=（ ）
   答案：C. n(n+1)

6. 数据方差计算
   已知某 4 个数据的平均数为 6，方差为 3，现再加入一个数据 8，则这 5 个数据的方差为（ ）
   答案：B. 516

7. 椭圆与双曲线离心率
   已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1,F2，它们在第一象限和第三象限的交点为 P,Q，且 ∠QF2P=60∘，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2，则 3e12+e221 等于（ ）
   答案：D. 4

8. 

   几何拼接问题
   有两个棱长均为 1 的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为 P,Q，另有一个棱长为 1 的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段 PQ 长度的集合有（ ）
   答案：A. 1 个元素

二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）

9. 分段函数性质
   已知定义在 [1,+∞) 上的函数 f(x)={1−2∣x−3∣,2f(x2),1≤x≤2,x>2，则下列结论正确的是（ ）
   答案：A. f(4)=0；B. f(5)=2；D. 函数 f(x) 的值域为 [0,+∞)

10. 三角函数与方程
    已知 4π≤α≤π，π≤β≤23π，sin2α=54，cos(α+β)=−102，则下列结论正确的是（ ）
    答案：A. cos2α=53；B. sinα−cosα=55；C. sin(α+β)=1072

11. 轨迹与几何性质
    已知动点 P(x,y)，其到直线 x=−43 的距离与其到点 (43,0) 的距离相等，设其轨迹为 Γ。

    Γ 上有两个关于 x 轴对称的点 A,B（A 在 B 的上方）。

    记直线 OA 的斜率为 k，坐标轴原点记为 O，△OAB 的外接圆记为 Γ′。

    则下列结论正确的是（ ）
    答案：B. cos∠AOB=1+k21−k2；C. Γ′ 的周长大于 3π；D. 过点 A 分别作 Γ,Γ′ 的切线，且与 x 轴交于点 C1,C2，则 ∣C1C2∣ 最小值为 24

三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）

12. 公共弦长计算
    圆 x2+y2−4=0 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 的公共弦长等于 答案：22

13. 概率与集合
    有 5 个集合：{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,5,6}，从每个集合中等可能地各取 1 个数，记 5 个数之和为 X，则 P(13≤X≤18)= 答案：7213

14. 三角形中线与面积
    已知 △ABC 面积为 1，边 AC,AB 上的中线为 BD,CE，且 BD=4，则 CE= 答案：213（需结合余弦定理与面积公式推导）

四、解答题（共5小题，共77分）

15. 三棱锥几何关系
    在三棱锥 S−ABC 中，底面 △ABC 为等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90∘。

    
    （1）求证：AC⊥SB；
    （2）若 AB=2，SC=22，求平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值。

16. 

    三角形内角与面积范围
    在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，满足 ba=ab+c=3sinAcosB。

    
    （1）求 C；
    （2）若 b=1，点 M,N 是边 AB 上的两个动点，当 ∠MCN=3π 时，求 △MCN 面积的取值范围。

17. 椭圆方程与向量垂直
    在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E:a2x2+b2y2=1（a>b>0）的离心率 e=22，且椭圆 E 过点 A(2,0)。

    过点 A 作斜率为 k（k=0）的直线 l 交椭圆 E 于点 B，交 y 轴于点 C。

    
    （1）求椭圆 E 的方程；
    （2）已知 P 为 AB 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 k（k=0）都有 OP⊥CQ，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。

18. 函数单调性与方程根
    已知函数 f(x)=ex−ax（其中 e 为自然对数的底数）。

    
    （1）当 a=1 时，求 f(x) 的单调区间；
    （2）若当 a=2 时，关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的根 x1,x2 且 x1<x2。

    
    （i）求 k 的范围；
    （ii）当 ∣x1−x2∣ 最小时，求 k 的值。

19. 集合覆盖与并集关系
    已知 n 元正整数集合 An={1,2,3,…,n}，取出 An 的 2k 个互不相同的非空子集 B1,B2,…,B2k 构成集合 P2k={B1,B2,…,B2k}。

    若 P2k 中任意 k 个元素的并集均真包含于 An，任意 k+1 个元素的并集均等于 An，我们称 P2k 合理覆盖 An（n,k∈N∗，1≤k≤2n−1−1）。

试题特点分析

1. 题型分布：
   • 选择题：8小题，每题5分，共40分，考查基础知识点与逻辑推理能力。

   • 填空题：3小题，每题5分，共15分，侧重对概念与公式的直接应用。

   • 解答题：5小题，共77分，涵盖函数、数列、几何、概率统计等核心板块，要求考生具备综合解题能力。

2. 考点覆盖：
   • 函数与导数：如第1题考查复数运算，第18题涉及指数函数单调性与极值点分析。

   • 数列：如第5题通过等差数列与等比数列性质求解前n项和。

   • 几何：如第3题通过向量运算求四边形面积，第15题考查空间几何体中垂直关系与夹角计算。

   • 概率统计：如第13题通过集合与概率模型求解随机变量取值范围。

3. 难度梯度：
   • 基础题（如选择题前4题）侧重知识点记忆与简单应用；
   • 中档题（如填空题、解答题前3题）考查公式推导与综合运算能力；
   • 压轴题（如解答题后2题）涉及多知识点融合与创新思维，区分度较高。